點集拓撲

點集拓撲學（Point Set Topology），有時也被稱為一般拓撲學（General Topology），是數學的拓撲學的一個分支。它研究拓撲空間以及定義在其上的數學結構的基本性質。這一分支起源於以下幾個領域：對實數軸上點集的細緻研究，流形的概念，度量空間的概念，以及早期的泛函分析。

基本介紹

• 中文名：點集拓撲
• 外文名：Point Set Topology
• 領域：拓撲學

定義

拓撲是一個包含一個集合X連同和X的子集族Σ(稱為開集系)的二元組(X,Σ)，它滿足如下三個公理：

1. 開集的並集是開集。
2. 有限個開集的交集是開集。
3. X和空集∅是開集。

研究範圍

具體地說，在點集拓撲學的定義和定理的證明中使用了一些基本術語，諸如：

• 開集和閉集
• 開核和閉包
• 鄰域和鄰近性
• 緊緻性和連續性
• 連續函式
• 數列的極限，網，以及濾子
• 分離公理
• 可數性公理

雖然還有其它一些更加複雜的術語，但這些術語通常都直接與這些基本術語相關，並且這些更加複雜的術語不在其他數學分支中廣泛採用。其它的一些拓撲學主要分支有代數拓撲學、幾何拓撲學、微分拓撲學。從這些名稱中也可以看出，點集拓撲為這些領域提供了共通的基礎。

開集和閉集

開集是指不包含任何自己邊界點的集合。或者說，開集包含的任意一點的充分小的鄰域都包含在其自身中。

滿足的點著藍色。滿足的點著紅色。紅色的點形成了開集。紅色和藍色的點的並集是閉集。

例如，實數線上的由不等式規定的集合稱為開區間，是開集。這時候的邊界為實數軸上的點2和5，如由不等式，或者規定的區間由於包含其邊界，因此不能稱之為開集。

開集的概念一般與拓撲概念是緊密聯繫著的，通常先公理化開集，然後通過其定義邊界的概念。

在拓撲空間中，閉集是指其補集為開集的集合。在一個拓撲空間內，閉集可以定義為一個包含所有其極限點的集合。在完備度量空間中，一個閉集的極限運算是閉合的。

開核和閉包

數學上，特別是在拓撲學中，拓撲空間內點集 S 的內部（interior，又稱開核open kernel）含有所有直觀上“不在 S 的邊界上”的 S 的點。S 的內部中的點稱為 S 的內點。

等價地，S 的內部是 S 補集的閉包的補集。內部的概念在很多情況下和閉包的概念對偶。

一個集合的外部是它補集的內部，等同於它閉包的補集；它包含既不在集合內，也不在邊界上的點。一個子集的內部、邊界和外部一同將整個空間分為三塊（或者更少，因為這三者有可能是空集）。內部和外部總是開的，而邊界總是閉的。沒有內部的集合叫做邊緣集。

數學上，在一個拓撲空間裡，子集S 的閉包是指由S 內所有的點及S 的極限點所組成的一個集合；直觀上來說，即為所有“靠近”S的點所組成的集合。在子集S的閉包內的點稱為S 的閉包點。閉包的概念在許多方面能與內部的概念相類比。

鄰域和鄰近性

在拓撲學和相關的數學領域中，鄰域是拓撲空間中的基本概念。直覺上說，一個點的鄰域是包含這個點的集合，並且該性質是外延的：你可以稍微“抖動”一下這個點而不離開這個集合。

這個概念密切關聯於開集和內部的概念。

緊緻性和連續性

在數學中，如果歐幾里得空間R的子集是閉合的並且是有界的，那么稱它是緊緻的。例如，在R中，閉合單位區間[0, 1]是緊緻的，但整數集合Z不是（它不是有界的），半開區間[0, 1)也不是（它不是閉合的）。

更現代的方式是稱一個拓撲空間為緊緻的，如果它的開覆蓋都有有限子覆蓋。海涅-博雷爾定理證明了這個定義對歐幾里得空間子集等價於“閉合且有界”。

在數學中，連續是函式的一種屬性。直觀上來說，連續的函式就是當輸入值的變化足夠小的時候，輸出的變化也會隨之足夠小的函式。如果輸入值的某種微小的變化會產生輸出值的一個突然的跳躍甚至無法定義，則這個函式被稱為是不連續的函式（或者說具有不連續性）。

分離公理

在拓撲學及相關的數學領域裡，通常對於所討論的拓撲空間加有各種各樣的限制條件，分離公理即是指之中的某些限制條件。這些分離公理有時候被叫做吉洪諾夫分離公理，得名於安德烈·尼古拉耶維奇·吉洪諾夫。部分分離公理以字母T開頭，是由德文單詞“Trennung”而來，意義是分離。

分離公理之所以稱為公理，是因為以前定義拓撲空間時，有些人會將其也做為公理來定義，而得出較現在意思狹義的拓撲空間。但在拓撲空間的公理化完成後，那些都成了“各種”的拓撲空間。然而，“分離公理”這一詞就這樣固定了下來。

可數集

在數學上，可數集，或稱可列集、可數無窮集合，是與自然數集的某個子集具有相同基數（等勢）的集合。在這個意義下不是可數集的集合稱為不可數集。這個術語是康托爾創造的。可數集的元素，正如其名，是“可以計數”的：儘管計數永遠無法終止，集合中每一個特定的元素都將對應一個自然數。