非線性混沌系統

非線性系統，指的是系統的狀態與輸出變數在外部條件的影響下，不能用線性關係來描述的系統。

混沌系統是指在一個確定性系統中，存在著貌似隨機的不規則運動，其行為表現為不確定性、不可重複、不可預測，這就是混沌現象。混沌是非線性動力系統的固有特性，是非線性系統普遍存在的現象。

非線性科學幾乎涉及自然科學和社會科學的各個領域，混沌是這門科學的主題之一。混沌是一種貌似無規則運動，在確定性非線性系統中，不需要附加任何隨機因素亦可出現類似隨機的行為(內在隨機性)。

基本介紹

• 中文名：非線性混沌系統
• 外文名：Nonlinear chaotic system
• 類別：控制科學與工程
• 基礎：混沌、非線性系統
• 基本特徵：遍歷性等
• 識別方法：波形圖與相軌圖

基本概念

非線性系統

所謂非線性系統，指的是系統的狀態與輸出變數在外部條件的影響下，不能用線性關係來描述的系統。系統受到的這種影響是相對於系統輸入的運動特性來說的。由於組成系統的各部件在不同程度上存在非線性的性質，因此在實際生活中，絕對線性的系統是不存在的。為了改善系統的這種非線性性以得到穩定的系統，需要通過設計控制器來研究系統的穩定性，由此產生了相平面法、描述函式法和諧波平衡法等。在過去的幾十年里，對於非線性系統的研究，產生的很多新興的控制理論中，普遍結合了李雅普諾夫穩定性理論，例如以Kokotovic為代表的反推控制理論(Backstepping ) ，以義大利Isidorii教授為代表發展起來的微分幾何控制理論，以Swaroop和Hedrick等人為代表基於反推控制理論發展起來的動態面控制設計方法，以Zade和Mamdani教授為代表發展起來的模糊數學和模糊控制理論。迄今為止，李雅普諾夫方法己經成為研究非線性系統最常用也是最為完善的一種方法，通過構造李雅普諾夫泛函、構造系統控制器來研究非線性系統的穩定性也己取得顯著成效。

混沌

混沌，一般是指確定性系統中出現的一種貌似無規則的，類似隨機的現象。這裡，“確定性系統”是指混沌系統由確定的動力系統描述，其回響也是確定的。但人們發現一些系統中，特別是非線性系統中體現出了類似隨機的複雜狀態，表現為系統長期行為的不可預測性，即一個系統的演變過程對初態非常敏感，在科學上，人們就把具有上述現象的系統稱為混沌系統。總而言之，混沌的本質是系統的長期行為對初始條件的敏感性，如我們常說“差之毫厘，失之千里”、蝴蝶效應等等。混沌是非線性系統普遍具有的一種複雜動力學行為，被稱為是20世紀最重要的科學發現之一。

混沌的基本特徵

混沌是非線性系統中一種比較特殊的運動狀態，是由確定系統產生的類似隨機的運動行為，對初始值極度敏感且高度依賴，並且不會因為外界條件的改變而改變，混沌系統在參數和初值相同的條件下可以重現其運動軌跡，但是由於實驗設備的精度原因，無法觀測到混沌運動的長期運動規律。下面介紹混沌的幾個特徵：

初始條件的極度敏感性

混沌運動行為對初始條件的改變極度敏感，導致這種高度敏感性的原因是摺疊與拉伸，系統經過多次摺疊與拉伸後，其運動軌跡被打亂從而出現混沌現象。初始條件的微小改變，使系統的長時間的動力學行為難以預測，而短時間內的動力學行為是可以預測和確定的。

遍歷性

遍歷性即為各種狀態都要經歷，也就是混沌運動經歷其吸引域以內的各個狀態點，並且其運動軌跡不會交叉重複。

有界性

混沌運動從局部來看是不穩定的，但是從整體上來看是具有穩定特性的，無論其內部狀態多么複雜，其運動軌跡始終在一個固定的區域內，即為混沌的吸引域。由於混沌系統的所有解都都分布在此吸引域內，因此混沌系統整體是穩定、有界的。

分維性

維數是描述吸引子結構複雜程度的量，而混沌的分維特性是用來描述混沌運動軌跡的幾何形態的。比如說，分維數為2.06的洛倫茲模型，它是用來描述大氣混沌的；分維數為1.26，它是用來描述Koch雪花曲線的。在相空間內，由於混沌運動的無限扭結、摺疊和纏繞，於是構成了具有無窮多層的自相似結構。

標度性

標度不變性是指貌似無序、毫無規律的混沌系統的運動狀態，但是只要具有充足的外界條件，足夠高的實驗設備、數值精度，就可以得到混沌運動在極小的混沌區域內的有序的運動軌跡。

普適性

普適性體現了混沌運動的內在規律，它所指的是系統在即將進入混沌態時，不同的混沌系統所體現出來的一些共同特性，它不會因為參數或方程發生變化而做出改變。另外，混沌常數決定了混沌運動的普適性，如Feigenbaum常數。

隨機性

混沌由確定系統產生，卻又是一種類似隨機的運動，它具有內在隨機性，並且不受外界條件影響，其內在隨機性表現在吸引子區域內的每一點的機率分布密度函式都不等於零，這也體現出了混沌整體穩定、局部不穩定的特性。混沌對初始條件的高度敏感性直接導致了混沌的內在隨機性。

正李雅普諾夫指數

在發現混沌之前，人們認為確定系統存在三種運動狀態:定態、準周期態和周期態。混沌態的發現改變了人們的這一固有看法，混沌系統具有整體穩定，局部不穩定的特點，其運動軌跡永不交叉、重複。李雅普諾夫指數反映的是混沌系統運動軌道之間的相互分離程度，正李雅普諾夫指數的存在與否是確定系統是否處於混沌狀態的重要標誌，而指數的大小是體現蝴蝶效應強弱的標誌。在超混沌系統中，至少存在兩個正李雅普諾夫指數。

系統識別

為了掌握和控制混沌，必須首先缺定是否發生了混沌現象。只有識別出發生了混沌運動，才能用混沌理論對系統進行處理。一般認為觀察到複雜軌跡，就表示發生了混沌運動，但根據觀察是無法弄清這一軌跡到底是具有很長周期解，還是非周期解。如果試圖建立工程模型，通過模型的解來證明是否存在混沌現象，這一方法也是十分困難的。因為一般情況下，工程模型的解析解是無法求出的。用實驗的方法來進行測試、識別混沌是一種有效的方法。

波形圖與相軌圖

該方法主要是將系統的運動狀態轉變成電信號後在示波器或信號處理機上顯示出來，根據顯示結果來判斷是否有混沌發生，可以利用變換電路，觀察系統運動的位移、速度與時間的關係的波形圖，對是否發生混沌進行識別。對於混沌運動來說，它們一般呈現為不規則的雜亂波，也可以將感測器測得的狀態與時間的關係的電信號經過變換電路，轉換成位移和速度的信號輸人示波器中，就可以得到二維的相軌圖。如果是混沌運動，則相軌圖呈現為不規則的螺旋雜亂曲線。

龐加萊映射圖(Poincare Map)

龐加萊映射圖可以較容易地判斷系統運動是否周期的，具體做法是將相軌線按激勵(擾動)周期取點離散化，在取得系統運動位移和速度的波信號後，顯示相圖時，按擾動的周期作點的顯示，並將這些點的位置進行記錄，即可得到龐加萊映射圖。當系統的運動為極限環運動時，在龐加萊映射截面上簡化為一個不動點；當系統的運動為周期運動時，在龐加萊映射截面上簡化為n個點(稱為周期n運動)；當系統的運動為非周期的混沌運動時，在龐加萊映射截面上則為沿一條直線段或一條曲線弧分布著的點的集合。因此龐加萊映射可用來判斷一個系統是否為混沌系統。顯然，它是一種比較直觀的判斷方法。

李雅譜諾夫指數

在當今非線性的研究中LE指數得到了越來越多的套用。Lyapunov指數是衡量系統動力學特性的一個重要定量指標，它表征了系統在相空間中相鄰軌道間收斂或發散的平均指數率。對於系統是否存在動力學混沌，可以從其最大Lyapunov指數是否大於零非常直觀地判斷出來;一個正的Lyapunov指數，意味著在系統相空間中，無論初始兩條軌線的間距多么小，其差別都會隨著時間的演化而呈現指數率的增加以致達到無法預測，也即相鄰軌道迅速分離，這就是混沌現象。對收斂系統而言，由於從相鄰點出發的軌道，其距離逐漸變小，最終變為一個點或一個極限環，因此，相應李雅譜諾夫指數小於零。由此可知，可以利用系統的李雅譜諾夫指數來判斷一個系統的運動行為。

控制

混沌可分為四類：第一類時間混沌，只存在與時間演化有關的混沌；第二類空間混沌，只存在與空間位置變化有關的混沌;第三類時空混沌，同時在時間上與空間上都呈現混沌，還可以包括生物體產生的功能混沌在內。第四類超混沌，存在一個以上正切apunov指數的混沌行為。

如果將常規的控制問題理解為從無序到有序的單向轉換，那么混沌控制可以被理解為在混沌和有序之間的雙向轉換機制：在一個動態系統中，當混沌具有正面效應時，該機制應該能夠強化己存在的混沌或產生新的混沌;反之，當混沌具有負面效應時，就消除它。混沌控制理論與常規控制理論並不相排斥。相反，研究混沌控制的目的是想要在更廣的範圍內更好地操縱非線性系統的動態行為，以期得到更多的便利。混沌控制的研究就是尋求發展適合於混沌系統的新的控制理論和方法。在這種意義下，混沌控制是對常規控制理論的有益補充。

迄今，基於在混沌奇怪吸引子記憶體在無窮多不穩定周期軌道、平衡點、恆定態及非周期軌道等各種可能運動形態，控制混沌的目標總體上有四種類型：

(1)抑制混沌，通過控制策略獲得所需的新的動力學行為，包括各種周期態、非周期態。

(2)鎮定混沌，穩定某個不穩定平衡點、周期軌道，其特點是並不改變系統原有的運動形態。

(3)混沌同步，鎮定所需的混沌態，實現兩個或多個系統的混沌同步。

(4)混沌反控制，強化混沌系統原有的混沌態或使非混沌系統產生需要的混沌態。

混沌控制的主要任務可包括以下幾方面：

(1)抑制或消除某些類型的混沌或超混沌；

(2)穩定在混沌或超混沌吸引子中所期望的不穩定周期態；

(3)通過控制達到新的動力學行為，但不一定是原來系統具有的運動形態；

(4)消除多重的混沌或超混沌吸引子流域；

(5)混沌同步，實現兩個或多個混沌系統在某種性能指標上達到一致；

(6)混沌反控制，產生非混沌系統的混沌或增強原來混沌系統的混沌；

(7)分岔的控制與反控制；

(8)以上各種控制目標的相互轉換與組合套用。