混沌系統

基本概念

混沌現象是在非線性動力系統中表現的確定性、類隨機的過程，這種過程既非周期又不收斂，並且對於初始值具有敏感的依賴性。混沌理論（Chaos theory）是關於非線性系統在一定參數條件下展現分岔（bifurcation）、周期運動與非周期運動相互糾纏，以至於通向某種非周期有序運動的理論。

混沌理論在許多科學學科中得到廣泛套用，包括：數學、生物學、信息技術、經濟學、工程學、金融學、哲學、物理學、政治學、人口學、心理學和機器人學。

一維混沌系統

一個一維離散時間非線性動力學系統定義如下：

其中，

， k=0,1,2,3…，我們稱之為狀態。而

是一個映射，將當前狀態xk映射到下一個狀態xk+1。如果我們從一個初始值x0開始，反覆套用

，就得到一個序列

，k=0,1,2,3…..。這一序列稱為該離散時間動力系統的一條軌跡。

Logistic映射

一類非常簡單卻被廣泛研究的動力系統是logistic映射，它起源於蟲口模型。其定義有多種形式。

其中一種形式為：

其中，混沌域為(0,1)，

稱為分枝參數，xk ∈(0,1)。

混沌動力系統的研究工作指出，當3.5699456…<μ<=4 時，logistic映射工作於混沌態。也就是說，由初始條件x0在logistic映射的作用下所產生的序列 { xk ; k=0,1,2,3…..}是非周期的、不收斂的並對初始值非常敏感的。

在μ=4的情況下，即Logistic-Map映射，其所生成序列的機率密度函式PDF(probability density function)：

表明此系統產生的混沌序列具有遍歷性，並且它產生序列的PDF與初始值無關，這為將混沌序列作為密鑰置換網路的映射函式提供了理論支持。

Chebyshev映射

Chebyshev 映射，以階數為參數。k 階Chebyshev 映射定義如下：

其中 xk 的定義區間是(-1，1)。

二維混沌系統

一維離散混沌系統，具有形式簡單、產生混沌序列時間短等優點，但其缺點是密鑰空間太小。用二維超混沌系統生成的混沌序列，變換成加密因子序列。

Lyapunov指數（簡稱李氏指數），是刻畫非線性系統混沌特性的有效方法之一，李氏指數的個數與系統狀態空間的維數n相同。如果只有一個李氏指數大於零，則系統是混沌的；若至少有兩個李氏指數大於零，則系統是超混沌的。大於零的李氏指數越多，系統不穩定的程度越高。一般來說，系統的狀態量個數越多（如高維系統，對離散系統來說，n>2），它可能出現不穩定的程度越高。