重對數律

內容

令

是一列獨立同分布的隨機變數，其期望為0，方差為1；且記

，那么：

其中“log”是自然對數，“lim sup”是上極限，“a.s.”是“幾乎必然”。

重對數律在大數定律與中心極限定理之間運行。大數定律有兩種描述 - 弱者和強者，它們都聲明，以n為標準的總和S_n收斂到零，幾乎可以肯定地：

另一方面，中心極限定理表示以因子n-½縮放的總和Sn在分布中收斂到標準常態分配。通過Kolmogorov的零一定律，對於任何固定的M，事件

發生是0或1，然後

因此：

一個相同的論證顯示

這意味著這些數量幾乎無法收斂。事實上，他們甚至不能從平等的角度收斂

和隨機變數

是獨立的，並且兩者收斂於分布

。

重對數律提供了兩種限制縮放因子：

因此，儘管數量

小於機率接近一個的任何預定義的ε> 0，但是該數量將會無限次地從該間隔中退出，實際上將會幾乎肯定地訪問區間（-√2，√2）任何一點的社區。

獨立和相同分布（i.i.d.）隨機變數之和的平均和有界增量的疊代對數（LIL）的定律可以追溯到20世紀20年代的Khinchin和Kolmogorov。

從那時起，對於各種依賴結構和隨機過程，LIL已經有大量的工作。以下是一些顯著發展的小樣本。

哈特曼 - 溫特納（Hartman-Wintner，1940）將LIL推廣到具有零均值和有限方差的增量的隨機遊走。

Strassen（1964）從不變性原理的角度研究了LIL。

Stout（1970）將LIL推廣到固定的遍歷mart。

de Acosta（1983）給出了Hartman-Wintner版本的LIL的簡單證明。

維特曼（Wittmann，1985）將哈特曼 - 溫特納版本的LIL概括為滿足更溫和條件的隨機遊走。

Vovk（1987）導出了一個LIL的版本，對於單個混沌序列（Kolmogorov隨機序列）有效。這是值得注意的，因為它在經典機率論之外。

王永貴已經表明，重對數律也適用於多項式時間偽隨機序列，此外用於偽隨機生成的基於Java的軟體測試工具統計測試技術可用於測試隨機發生器是否輸出滿足LIL的序列。