遍歷論及其在機率論中的套用

《遍歷論及其在機率論中的套用》是依託復旦大學，由謝踐生擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：遍歷論及其在機率論中的套用
• 依託單位：復旦大學
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：謝踐生

項目摘要

本項目研究遍歷理論及其在機率論中的套用。遍歷理論中的很多遍歷定理在機率論中都有相應的經典理論與之對應。例如Poincare回復定理與馬氏過程（馬氏鏈）的常返理論密切相關；而經典的Birkhoff逐點遍歷定理則是機率論中強大數律的推廣；比值遍歷定理也可視作以馬氏鏈模型中的Doeblin比值極限定理為原型；凡此等等。..本項目從馬氏鏈的值域更新問題入手，試圖利用或改造原有的遍歷理論套用於機率論的馬氏過程理論中，解決其中的一些重要問題；同時機率論的典型理論和思想方法毫無疑問也將促進我們對遍歷理論的理解與發展。沿此思路我們已經發展出了一套建立強大數律的簡單方法，相信未來會取得更大進展。

結題摘要

項目期間，以前人在隨機遊動模型的值域個數的相關問題上的研究結果（強大數律、中心極限定理、重對數律等）與方法為原型，加以遍歷論方法重新探索，研究了i.i.d.離散樣本的取值個數問題、離散群上暫留的簡單隨機遊動的值域問題、連分數展開式的連分數位取值個數問題等一系列問題，得到了對應的強大數律；由此發現了在正常返的模型中如果平穩分布具有一定規則性，對應模型的值域更新就具有特定的結構以及Power Law。