基本介紹
- 中文名：邏輯代數
- 外文名：algebra of logic
- 分類：數學
- 提出：喬治 布爾
- 時間：19世紀中葉
- 基本邏輯：兩種
基本介紹,乘法加法原理,與邏輯和乘法,或邏輯和加法,基本規則,代入規則,對偶規則,反演規則,邏輯函式,標準形式,最小項,最大項,化簡,其他,邏輯代數,類代數,命題代數,
基本介紹
邏輯代數是分析和設計邏輯電路的數學基礎。邏輯代數是由英國科學家喬治·布爾（George·Boole）創立的，故又稱布爾代數。當邏輯代數的邏輯狀態多於2種時（如0、1、2或更多狀態時），其通用模型的基本邏輯有2個邏輯代數又稱布爾代數。
布爾
布爾一個是從一種狀態變為另一種狀態的邏輯，是一個一元邏輯；
另外一種是兩種狀態中按照某種規則（比如比較大小）有傾向性的選擇出其中一種狀態的邏輯，這是一個二元邏輯。依據這兩種邏輯，可以表達任意多狀態的任意邏輯關係，即最小表達式。即任意多狀態的邏輯是完備的。當邏輯狀態數擴展有理數量級甚至更多。任意數學運算都可以用兩個運算關係來聯合表達：加減法和比較大小。
邏輯代數負邏輯體制規定：低電平為邏輯1，高電平為邏輯0。
邏輯函式：如果有若干個邏輯變數（如A、B、C、D）按與、或、非三種基本運算組合在一起，得到一個表達式L。對邏輯變數的任意一組取值（如0000、0001、0010）L有唯一的值與之對應，則稱L為邏輯函式。邏輯變數A、B、C、D的邏輯函式記為：L=f(A、B、C、D)
乘法加法原理
與邏輯和乘法
或邏輯和加法
加法原理中自變數是因變數成立的充分條件，或邏輯的定義正好和加法原理的描述一致，所以或邏輯和加法對應。
基本規則
代入規則
任何一個含有變數 X 的等式，如果將所有出現 X 的位置，都代之以一個邏輯函式 F，此等式仍然成立。
對偶規則
設 F 是一個邏輯函式式，如果將 F 中的所有的 * 變成 +，+ 變成 *，0 變成 1，1 變成 0，而變數保持不變。那么就的得到了一個邏輯函式式 F'，這個 F' 就稱為 F 的對偶式。如果兩個邏輯函式F 和 G 相等，則它們各自的對偶式F' 和 G' 也相等。
邏輯代數
邏輯代數反演規則
邏輯函式
標準形式
邏輯變數的邏輯或運算叫做或項，或項的邏輯與運算構成了邏輯函式的或與式，也叫做和之積式(PS form)。
邏輯代數
邏輯代數最小項
- 性質：
①在輸入變數的任何一取值下必有一個最小項，而且僅有一個最小項的值為1。
②任意兩個最小項的乘積為0。
③全體最小項之和為1。
④具有相鄰性的兩個最小項之和可以合併為一項並消去一個因子。
⑤n個變數的最小項數目為2n
最大項
- 性質：
①在輸入變數的任何取值下，必有一個，而且只有一個最大項的值是0。
②任意兩個最大項之和為1。
③全體最大項之積為0。
④只有一個變數不同的兩個最大項的乘積等於各相同變數之和。
⑤ m個變數的最大項數目為㎡
化簡
運用邏輯代數的基本公式及規則可以對邏輯函式進行變換，從而得到表達式的最簡形式。這裡所謂的最簡形式是指最簡與或式或者是最簡或與式，它們的判別標準有兩條：⑴項數最少；⑵在項數最少的條件下，項內的文字最少。卡諾圖是遵循一定規律構成的。由於這些規律，使邏輯代數的許多特性在圖形上得到形象而直觀的體現，從而使它成為公式證明、函式化簡的有力工具。
邏輯代數
邏輯代數其他
邏輯代數
邏輯是指事物的因果關係，或者說條件和結果的關係，這些因果關係可以用邏輯運算來表示，也就是用邏輯代數來描述。事物往往存在兩種對立的狀態，在邏輯代數中可以抽象地表示為 0 和 1 ，稱為邏輯0狀態和邏輯1狀態。
邏輯代數中的變數稱為邏輯變數，用大寫字母表示。邏輯變數的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1，0 和 1 稱為邏輯常量，並不表示數量的大小，而是表示兩種對立的邏輯狀態。
其規定：
⒈所有可能出現的數只有0和1兩個。
⒉基本運算只有“與”、“或”、“非”三種。
與運算（邏輯與、邏輯乘）定義為：
0·0=0 0·1=0 1·0=0 1·1=1
或運算（邏輯或、邏輯加）定義為：
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1
至此布爾代數宣告誕生。
二、基本公式
如果用字母來代替數（字母的取值非0即1），根據布爾定義的三種基本運算，我們馬上可推出下列基本公式：
A·A=A A+A=A
A·0=0 A+0=A
A·1=A A+1=1
類代數
類代數是類邏輯的代數化。所謂類邏輯是從外延上理解的一階一元謂詞的邏輯。一元謂詞的外延指稱該謂詞所適用的個體的類。由論域中所有個體組成的類叫全類，記作 1。不含有任何事物的類叫空類，記作0。考慮全類的所有子類，即包含於其中的類（包括1和0），令a,b,с，…為這樣的類變元。由論域中不屬於a類的個體組成的類叫做a的補，記作a'。由或屬於a類或屬於b類的個體組成的類叫做a與b的邏輯和（並類），記作a∪b。由既屬於 a類又屬於 b類的個體組成的類叫做a與b的邏輯積（交類），記作a∩b，簡記作ab。如果a類與b類所含的個體相同，則稱a與b等同，記作a=b。a與b不等同記作a≠b。1和0是兩個特定的類常元。此外，還可以通過定義引入包含於關係，例如把a和b定義為a∩b' =0。
在類代數中，不帶有主詞存在斷定的直言命題aAb、aEb、aIb和aOb，可表示為a∩b'=0、a∩b=0、a∩b≠0和a∩b' ≠0。傳統邏輯中三段論第1格 AAA式可表示為：
如果с∩b' =0且a∩с' =0，則a∩b' =0。第3格EIO式可表示為：
如果с∩b=0且с∩a≠0，則a∩b' ≠0。類代數的運算滿足下表中列出的基本定律。
冪等律 a∪a=a
a∩a=a
交換律 a∪b=b∪a
a∩b=b∩a
結合律 a∪（b∪с）=(a∪b）∪с
a∩（b∩с）=(a∩b）∩с
吸收律 a∪（a∩b)=a
a∩（a∪b)=a
分配律 a∪（b∩с）=(a∪b）∩（a∪с）
a∩（b∪с）=(a∩b）∪（a∩с）
麼元律 0∪a =a
1∩a =a
1∪a =1
0∩a =0
補余律 a∪a' =1
a∩a' =0
從這些定律出發，特別是只需以其中的交換律、分配律、前兩個麼元律和補余律作為初始定律即公理，就可以推導出類邏輯的所有定律（定理）。類邏輯的內容比傳統的三段論理論要豐富得多，大致相當於只包含一元謂詞的一階謂詞邏輯（見謂詞邏輯）。一般的謂詞邏輯也可以用更進一步的代數方法處理，但已超出通常所謂的邏輯代數的範圍。
