多值邏輯

多值邏輯是把線序多值邏輯推廣到任意格值上去，有多於兩個的可能的真值的邏輯演算，其中布爾值邏輯（見邏輯代數）就是一種有趣的多值邏輯。

基本介紹

• 中文名：多值邏輯
• 外文名：many-valued logic
• 定義：一種非經典的邏輯系統
• 簡介：有多於兩個的真值的邏輯演算

簡介

多值邏輯（many-valued logic）

一種非經典的邏輯系統。在經典邏輯中，每一個命題皆取真假二值之一為值 ，每一命題或者真或者假。但實際上，一個命題可以不是二值的。命題可以有三值，推而廣之，還可以有四值，五值。因此，對每一自然數n，有n值，以至於無窮多值。研究這類命題之間邏輯關係的理論，即為多值邏輯。多值邏輯建立於20世紀20年代初，由盧卡西維茨和美國邏輯學家E.L.波斯特創建。在60年代獲得了新的推廣，從多值的線序域推廣到多值的偏序域，建立了格值邏輯。70年代後，多值邏輯被用於計算機科學和人工智慧等方面。多值邏輯和經典邏輯一樣，也可以用公理方法系統化，建立演算系統。

多值邏輯是有多於兩個的可能的真值的邏輯演算。傳統上，邏輯演算是二值的，就是說對於任何命題都只有兩個可能的真值，真和假（它一般對應於我們直覺概念的真實和虛假）。但是二值只有一個可以被指派的可能的真值範圍，已經開發了一些其它邏輯系統，帶有對二值的變異，或帶有多於兩個可能的真值指派。

在經典的二值方案中，真和假是確定性的值： 命題要么是真要么是假（互斥的），並且如果命題沒有其中一個值，則根據定義它必定有另一個值。這個理由就是排中律： P ∨ ¬P—也就是說，肯定或它否定總有一個成立。

要記住的一點是邏輯是跨越各種變換而保持某些命題的特性的系統。在經典邏輯中，這個特性是"真實性": 在有效的論證中，推導出來的命題的真實性由套用保持這個特性的有效步驟來保證。但是，這個特性不是必須是"真實性"特性；它也可以是其它某種特性。

例如，保持的特性可以是證實性（justification），這是直覺邏輯的基本概念。所以，命題不是真或假；轉而，它是證實的或未證實的。證實性和真實性之間的關鍵區別，在這個場合下，是排中律不成立： 非未證實的命題不必然的是證實的；轉而，它只是沒有被證明是未證實的。關鍵區別是保持的特性的確定性： 你可以證明 P 是證實的，P 是非證實的，或者不能證明任何一個。有效的論證保持跨越變換的證實性，所以從證實的命題推導出來的命題仍是證實的。但是，有些經典邏輯中的證明依賴於排中律；因為在這種方案中不能使用排中律，有些命題就不能用這種方式來證明了。

模糊邏輯是由盧菲特·澤德作為對模糊性的形式化而介入的；模糊就是謂詞可以非絕對性的套用於物體的現象，但是有一個特定的程度，並且可以有邊界狀況。這種邏輯可以用來處理複合三段論悖論（sorites）。不再是兩個真值"真"和"假"，模糊邏輯採用了 0，對應於"絕對假"，和 1，對應於"絕對真"之間的無限多的值。邊界狀況可以因為被指派為真值 0.5。你可以套用這種邏輯系統作為模糊集合論的理論基礎。

歷史

已知的第一個不完全接受排中律的邏輯學家是亞里士多德（De Interpretatione,ch. Ⅸ），儘管他沒有建立一個多值邏輯的系統。排中律是被斯多葛學派哲學家接受的（這個定律可能起源於其中一位，Chrysippus）。直到二十世紀之前，後來的邏輯學家都遵從亞里士多德邏輯，除了接納了排中律之外。

二十世紀恢復了多值邏輯的想法。波蘭邏輯學家和哲學家 Jan Łukasiewicz 在1920年開始建立了多值邏輯系統，使用了第三值"可能"來處理亞里士多德的海戰悖論。同時，美國數學家 Emil L. Post 在（1921年）也介入了對額外的真實程度的公式化。哥德爾在1932年證明了直覺邏輯不是有限多值的邏輯，並定義了在經典邏輯和直覺邏輯之間的哥德爾邏輯系統，這種邏輯叫做中間邏輯。

建立及套用

多值邏輯建立於20世紀20年代初，由盧卡西維茨和美國邏輯學家E.L.波斯特創建。盧卡西維茨在其1920年發表的《論三值邏輯》一文中，建立了一個三值邏輯系統。波斯特在其1921年發表的《初等命題的一般理論》一文中，建立了任意無窮多個值的邏輯系統。該系統對於任意的自然數 n>2，序列 t1，…,tn的每一項都可以取作命題的值，其中t1為真值，tn為假值。20～50年代，許多邏輯學家建立了 n值命題演算與謂詞演算的公理系統，並探討了它們的一致性和完全性問題，同時也研究了多值命題演算與埲值命題演算的子系統問題。多值邏輯在60年代獲得了新的推廣，從多值的線序域推廣到多值的偏序域，建立了格值邏輯。70年代後，多值邏輯被用於計算機科學和人工智慧等方面。

命題真值的解釋

在多值邏輯中，以數字為代表的命題真值如何解釋，邏輯學家中間有不同的解釋方法。其中有：①三值邏輯的解釋。以 0,1,2表示命題的三個真值，把

0解釋為已知真；

1解釋為可能真；

2解釋為已知假。

②　n值邏輯的解釋。以0,1，…，n-1表示命題的n個值，而把

0解釋為真；

n-1解釋為假；

i(0〈i〈n-1）解釋為不同程度的機率1-i/(n-1）。

③　埲（可數無窮多值）邏輯的解釋。把

0解釋為真；

1解釋為假；

m/n，【0<(m/n)<1】解釋為不同程度的機率1-(m/n）。

在盧卡西維茨的三值邏輯中，聯結詞塡，∧，∨，→，凮由以下的直值表定義，其中 t代表真，f代表假，u代表第三個值。

一般說來，若以0,1，…，n為 n+1值邏輯的值，並以0代表真，則各聯結詞的值可以由下列規定得到。設a、b為A、B的值，則：

① A的值為n-a；

② A∧B的值取a、b中較大者；

多值邏輯

③ A∨B的值取a、b中較小者；

④ A→B的值取0，若a>b；取b-a，若a

⑤ A↔B的值取a、b之差。

對於無窮值邏輯，如以單位區間 【0,1】中的有理數為值的埲值邏輯，或以單位區間 【0,1】中的實數為值的埌值邏輯，聯結詞的值可以由下列規定得到。設a、b為A、B的值，則：

① 塡A的值為1-a；

② A∧B的值取a、b中的較大者；

③ A∨B的值取a、b中的較小者；

④ A→B的值為0，若b>a；取b-a，若a

⑤ A凮B的值取a、b之差。

公理系統

多值邏輯和經典邏輯一樣，也可以用公理方法系統化，建立演算系統。例如，三值邏輯的一個公理系統，其初始符號包括兩個聯結詞塡和→，它有4個公理和一個推理規則：

多值邏輯

公理1　A→（B→A）；

公理2　（A→B）→（（B→C）→（A→C））；

公理3　（塡A→塡B)→（B→A）；

公理4　（（A→塡A）→A）→A。

推理規則

為：從A→B和A可以推出B。在該公理系統中，聯結詞∨，∧和凮通過定義引入，A∨B定義為（A→B）→ B；A∧B定義為塡（塡A∨塡B);A凮B定義為（A→B）∧（B→A）。把多值邏輯系統化，就可以研究這種系統的邏輯特徵，如系統的一致性和完全性。這方面的一個結果，是證明了對於大於2的自然數n、m，當m>n且m是n的倍數時，n值邏輯是m值邏輯的真子系統。多值命題邏輯與適當的量詞理論結合在一起，就構成多值謂詞邏輯。對布爾值邏輯說來，已證明了，經典謂詞演算的公理和推理規則在每一布爾值邏輯中都成立。

套用領域

現代邏輯的一個研究領域。在古典邏輯中，一命題只能取“真”、“假”二值之一。故通常稱古典邏輯是二值邏輯。如果更一般地來考查一個命題；使其不限於只取“真”、“假”二值，而是可以取三值、四值、任意有限個值，乃至可數無窮多個值，那么，這種多值命題間的邏輯關係的研究就稱之為多值邏輯。

多值邏輯的研究，始於20世紀20年代波蘭的J.武卡謝維奇和E.L.波斯特的工作。武卡謝維奇為了解決亞里士多德關於未來偶然性的問題，提出了三值邏輯。他認為命題：

“明年12月21日我將在華沙”，

在說這句話時既非真又不假，而只是可能。所以，這樣一類命題就可以取三個值：真、假和可能。波斯特與武卡謝維奇不同，他直接假定一命題的取值數目大於2，並建立了任意有窮多個值的邏輯系統，亦即一命題的取值為：t1，t2，…，tm。這裡，m是自然數， t1為真，tm為假。其間的t2，…，t，則常有不同的解釋方法。後來，J.B.羅塞和A.R.圖爾居特等開展了一系列的工作，並建立了種種協調而完全的多值邏輯演算系統。隨即對已建立的多值邏輯演算的系統特徵，多值邏輯與二值邏輯的關係以及多值邏輯的值的解釋等等均作了較廣泛而深入的研究，旨在發展多值邏輯的一般理論。其中有些研究，如對命題的值的解釋問題，還涉及哲學方面的銓釋。

多值邏輯在控制論和計算科學方面也有引人興味的工作。另外模糊邏輯的誕生是與多值邏輯有密切聯繫的。

模糊邏輯亦稱弗晰邏輯或不分明邏輯，是現代邏輯研究中套用較多的一個領域。1965年美國控制論學者L.A.扎德為了建立研究模型性對象的數學模型引進了模糊集合的概念（見模糊性數學），從而標誌著模型數學的誕生。人們把運用取無窮多連續值的模糊集合來研究模糊性的思維、語言形式和規律的學科稱為模糊邏輯。所以，模糊邏輯是把模糊集合的概念與方法運用於邏輯的研究。這一研究為描述和處理一類模糊性對象提供了一種有效的邏輯模型。由於模糊集合是以多值（即有窮或可數無窮多連續值）邏輯為依據的，故模糊邏輯與多值邏輯密切相關。它在控制論方面有較多的套用，目前仍在繼續研究和發展中。

與經典邏輯的關係

在經典的二值方案中，真和假是確定性的值：命題要么是真要么是假（互斥的），並且如果命題沒有其中一個值，則根據定義它必定有另一個值。這個理由就是

在經典的二值方案中，真和假是確定性的值：命題要么是真要么是假（互斥的），並且如果命題沒有其中一個值，則根據定義它必定有另一個值。這個理由就是排中律：P∨ ¬P—也就是說，命題或它的否定總有一個成立。

邏輯是跨越各種變換而保持某些命題的特性的系統。在經典邏輯中，這個特性是“真實性”:在有效的論證中，推導出來的命題的真實性由套用保持這個特性的有效步驟來保證。但是，這個特性不是必須是“真實性”特性；它也可以是其他某種特性。

例如，保持的特性可以是“證實性”（justification），這是直覺邏輯的基本概念。所以，命題不是真或假；轉而，它是證實的或未證實的。證實性和真實性之間的關鍵區別，在這個場合下，是排中律不成立：“非”未證實的命題不必然的是證實的；轉而，它只是沒有被證明是未證實的。關鍵區別是保持的特性的確定性：你可以證明P是證實的，P是非證實的，或者不能證明任何一個。有效的論證保持跨越變換的證實性，所以從證實的命題推導出來的命題仍是證實的。但是，有些經典邏輯中的證明依賴於排中律；因為在這種方案中不能使用排中律，有些命題就不能用這種方式來證明了。

與模糊邏輯的關係

模糊邏輯是由盧菲特·澤德作為對模糊性的形式化而介入的；模糊就是謂詞可以非絕對性的套用於物體的現象，但是有一個特定的程度，並且可以有邊界狀況。這種邏輯可以用來處理複合三段論悖論（sorites）。不再是兩個真值"真"和"假"，模糊邏輯採用了在0，對應於"絕對假"，和1，對應於"絕對真"之間的無限多的值。邊界狀況可以因為被指派為真值0.5。你可以套用這種邏輯系統作為模糊集合論的理論基礎。另一個無限多值邏輯是機率邏輯。