基本介紹
- 中文名：命題代數
- 外文名：propositional algebra
- 領域：代數
- 定義：一類特殊的布爾代數
- 本質：布爾代數
- 性質：運算性質
概念介紹,布爾代數,布爾簡介,性質,序理論,對偶原理,同構和同態,
概念介紹
命題代數(propositional algebra)一種特殊的布爾代數。設W是某一語言中所有命題構成的集合，且設T與F分別為真、假命題，∨，∧，分別為命題的析取，合取，否定聯結詞，則布爾代數〈W，∨，∧，，T，F〉就是命題代數。
命題的集合P，對命題聯接詞⇁，∨，∧構成的代數結構.就是(P，⇁，∨，∧)。
命題代數具有熟知的運算性質，即命題演算(命題邏輯)的基本算律。
布爾代數
又稱“邏輯代數”，是英國數學家、邏輯學家布爾(George Boole)1815—1864所創立的一個代數系統。布爾認為，邏輯關係和某些數學運算甚為類似，代數系統可以有不同的解釋，把解釋推廣到邏輯領域，就可以構成一種思維的演算。他在其著作《邏輯的數學分析》(1847年)及《思維規律》(1854年)中引進了邏輯代數的基本概念，構成了一個抽象代數系統。用這種系統可以較容易地處理傳統邏輯所不能處理的邏輯問題。布爾對他的代數系統給出了四種解釋：一種是類的演算，兩種是命題的演算，一種是機率演算。
經過後來數學家的進一步改進，布爾代數成為如下的一個數學系統：設B是一個至少有兩個元素的集合，其中定義兩種運算：+ (邏輯加法)， *(邏輯乘法)，B中元素對於這兩種運算，如果滿足下面公理：對任意的x，y，z∈B。
公理1：x+y=y+x; x*y=y * x;
公理2： x * (y+z)=(x * y) + (x * z);
x+ (y * z)=(x+y) * (x+z);
公理3： B中有元素0和1滿足：
x+0=x;x *1=x;
公理4：對任意x∈B，有x′∈B，使
x+x′ =1;x * x′ =0;
則稱B為一個布爾代數。
例如，令B={0，1}，讓1表示真命題，0表示假命題，定義+運算如下：
0+0=0;0+1=1;1+0=1;1+1=1;
定義*運算如下
0 * 0=0;0 * 1=0;1 * 0=0;1 * 1=1;
則它表示的就是一個命題代數的系統。由於有1+1=1，它不同於一般的代數系統。
在布爾代數的基礎上，人們又發展了開關代數。
開關代數在組合電路、電路網路中有極大的套用價值。
布爾簡介
布爾是英國著名的數學家、邏輯學家。其主要著作有《關於分析中的一個普遍方法》(1844)、《邏輯的數學分析：論一種演繹推理的演算法》(1847)、《思維規律、邏輯與機率的數學理論》(1854)。布爾對建立數理邏輯有重要貢獻，由於他套用代數方法研究命題、推理等思維形式及其規律，創立了邏輯代數(亦稱布爾代數)。因此，使得邏輯演算方法，在邏輯史上第一次以現代形態顯示出來。布爾被認為是數理邏輯的奠基人之一。
布爾受萊布尼茨、哈密頓、德摩根等關於邏輯與數學相類似的觀點影響，採用外延的方法研究形式邏輯思想的傳播。他的指導思想是：邏輯關係與某些數學運算相似，代數系統可能有多種解釋，把解釋推廣到邏輯領域，就能構成一種思維形式的演算方法。演繹分析的有效性不依賴於所使用的符號的解釋而依賴於符號的組合律。由此，布爾建立了兩種代數：類的代數和命題代數。他在構造邏輯的代數演算時，使用了三種符號：①文字元號，如X，Y等代表作為我們概念的主項的事物;②運算符號，如+、-、×等代表思維的運算，借這些運算，事物的概念被結合、分解，以形成新的概念;③表示同一關係的符號，如“=”。運用這些符號形成一種形式推理法(邏輯演算)。布爾提出七個初始公式作為演算的出發點，規定了進行形式演算的程式、方法和規則。這種演算被他稱作符號推理，演算方法的規則稱作符號推理規則，在他的《思維規律》一書中詳細探討了這些原則。
布爾對其構造的邏輯系統給出了四種解釋：一種是類的演算，有兩種命題演算，還有一種機率演算。他的邏輯代數的成果極大地推動了現代邏輯的發展。如布爾的方法可以化歸於一種經驗的法則(相加、相乘等)，允許機械處置，因此耶芳斯於1869年根據布爾演算方法，首先成功制出一架邏輯計算機。但是布爾代數作為一種邏輯演算方法尚不成熟，存在一定的局限性，如布爾分析的命題囿於主謂式結構，而未涉及其他類型的命題等。
性質
序理論
簡稱偏序理論。滿足偏序關係的形式系統。設語言L={≤}，其中≤是二元關係符號，由下列非邏輯公理：
Φ1：ᗄx(x≤x);
Φ2：ᗄxᗄyᗄz(x≤y∧y≤z→x≤z);
Φ3：ᗄxᗄy(x≤y∧y≤x→x≡y)
為出發點所構成的形式系統，稱為形式化偏序理論。
對偶原理
射影幾何學的基本理論之一。對偶是關聯關係的一種，在射影幾何中，直線與點在邏輯上處於平等地位，因此被稱為平面上的對偶元素。將平面上一個以點和直線構成的圖形中的點和直線對換，得到另一個圖形，叫做所給圖形的對偶。在射影幾何中，如果一個命題成立，則它的對偶命題也成立，稱之為對偶原理。最早論及對偶原理的是法國數學家龐斯列，1822年他在《論圖形的射影性質》中提出“互反極法則”，給出從極點到極線和從極線到極點的變換的一般表述。兩年後他又完成《論配極的一般理論》(1829年發表)，進一步套用了這一方法，促進了對偶原理的建立。同時期的另一位數學家熱爾崗於1825—1826年提出“對偶”概念，將對偶原理擴充到除涉及度量性質外普遍適用的原理。他研究了射影幾何的先驅德扎格提出的定理：如果兩個三角形對應頂點的連線共點，則它們對應邊的交點共線。由此他給出其對偶原理：如果兩個三角形對應邊的交點共線，則它們對應頂點的連線共點。原定理的逆定理，被稱為自對偶定理。熱爾崗發明了把對偶的定理寫成兩欄的格式，把對偶的命題並排寫在原命題的旁邊。1832年瑞士數學家施泰納在《幾何圖形相互依賴性的系統發展》中將圓錐曲線的定義對偶化，通過把圖形分類和注重對偶命題而系統地發展了射影幾何學。第一個建立對偶原理邏輯基礎的是德國數學家普呂克，他在《解析幾何的發展》第2卷(1831)中利用線坐標給出對偶原理的代數表述和證明。後來對偶原理推廣到三維空間，點和面是對偶元素，直線是自對偶元素。
同構和同態
同構
兩個數學系統(例如兩個代數系統)，當它們的元素及各自所定義的運算一一對應，並且運算結果也保持一一對應，則稱這兩個系統同構，記為≌。它們對於所定義的運算，具有相同的結構。例如，十進制數與二進制數是同構的。
建立同構關係的映射，稱為同構映射。例如，當映射為一一映射，並且對應元素關於運算保持對應時，就是同構映射。
同構是數學中最重要的概念之一。在很多情況，一個難題往往可以化成另一個同構的、似乎與它不相關的、已經解決的問題，從而使原問題方便地得到解決。雖然數學發展得越來越複雜，但利用同構概念，不僅使數學得到簡化，而且使數學變得越來越統一。表面上似乎不同，但本質上等價的結果，可以用統一的形式表達出來。例如，如果四色定理得到了證明，其他數學分支中與它同構的幾十個假設，也同時得到了證明。
同態
設E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤. 稱從E到F中的映射f是群胚同態，如果對於E的任一元素偶(x，y)，有：
設G為乘法群，而a為G的元素. 由關係f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態.
設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法群的同態，且為乘法么半群的同態. 這就是說，對A的任一元素偶(x，y)，有：
f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，
並且f將A的單位元變成B的單位元.
例如，設n為非零自然數;使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態.設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數). 稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法群胚(乘法么半群)的同態.
例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基. 則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態.
同態的概念能用抽象的方式加以推廣。
