函式代數亦稱一致代數。一類重要的交換巴拿赫代數。設R是緊豪斯多夫空間Ω上的連續函式全體C(Ω)的閉子代數，如果R含有常值函式且可分離Ω中的點(即對任何ω1，ω1∈Ω，ω1≠ω2，有f∈R使得f(ω1)≠f(ω2))，則稱R為函式代數。
極大代數(max-algebra)是一類函式代數。設A是C(Ω)中的函式代數，如果對任何函式代數B，只要B⊃A便必有B=C(Ω)或B=A成立，則稱A是極大代數。極大代數在函式代數理論中起著重要的作用。
基本介紹
- 中文名：極大代數
- 外文名：max-algebra
- 領域：數學
- 性質：函式代數
- 對應詞：極小代數
- 推廣：雙子代數
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函式代數
亦稱一致代數。一類重要的交換巴拿赫代數。設R是緊豪斯多夫空間Ω上的連續函式全體C(Ω)的閉子代數，如果R含有常值函式且可分離Ω中的點(即對任何ω1，ω1∈Ω，ω1≠ω2，有f∈R使得f(ω1)≠f(ω2))，則稱R為函式代數。函式代數是20世紀50年代迅速發展起來的一個分支.它與解析函式論、多複變函數論、函式逼近論等有密切關係。
極大代數
極大代數是一類函式代數。設A是C(Ω)中的函式代數，如果對任何函式代數B，只要B⊃A便必有B=C(Ω)或B=A成立，則稱A是極大代數。極大代數在函式代數理論中起著重要的作用。
也是一類描述離散變遷時間特性的代數系統。記為D={R-，⊕，⊗}，它定義於R-=R∪{ε}，其中R為實數集，ε-∞，並對a，b∈R-分別用a⊕bmax{a，b}和a⊗ba+b來定義其加法和乘法。這兩種運算滿足結合律、交換律及乘法對加法的分配律，ε為加法零元，e0為乘法么元，從而對之可以建立常規的算術運算系統。由於其加法具冪等性a⊕a=a，而且沒有逆運算減法，極大代數又有許多獨特的性質。事實上，它是介于格和線性代數之間的一種代數系統。
由於實際問題中經常遇到求“最長路徑”、決定某事件發生時刻的若干個前提事件的“最遲發生時刻”等運算，均可方便地用極大代數表示，從而它已成為相應問題有力的描述和分析工具。它的基本思想自1954年開始即有人提出，而後由英國康寧漢-格林(Cuninghame-Green，R.)建立了完整的理論體系。
在上述運算基礎上，可類似地定義極大代數上的矩陣運算和線性多變數系統的形式描述，並研究相應的矩陣本徵值問題，系統的周期行為、穩定性、反饋控制、實現理論等基本問題。這些問題在各種離散事件過程、時間層次模型的分析、設計、控制中有重要套用。
與極大代數類似，可定義極小代數、極大-極小代數以及更一般的雙子代數。相應的R-可改為=R∪{+∞}，或者整數集的擴充Z-=Z∪{-∞}或=Z∪{+∞}。
極小代數
布爾代數用語。在{0，1}上定義全序≤：0≤0，0≤1，1≤1。則<{0，1}，≤>是一布爾代數，稱此布爾代數為極小布爾代數。
經過後來數學家的進一步改進，布爾代數成為如下的一個數學系統：設B是一個至少有兩個元素的集合，其中定義兩種運算：+(邏輯加法)。*(邏輯乘法)，B中元素對於這兩種運算，如果滿足下面公理：對任意的x，y，z∈B，
公理1：x+y=y+x;x*y=y*x
公理2：x*(y+z)=(x*y)+(x*z)
x+(y*z)=(x+y)*(x+z)
公理3：B中有元素0和1滿足：
x+0=x;x*1=x;
公理4：對任意x∈B，有x′∈B，使
x+x′=1;x*x′=0;則稱B為一個布爾代數。
例如，令B={0，1}，讓1表示真命題，0表示假命題，定義+運算如下：
0+0=0;0+0=1;1+0=1;1+1=1;定義*運算如下：
0*0=0;0*1=0;1*0=0;1*1=1;
則它表示的就是一個命題代數系統。由於有1+1=1，它不同於一般的代數系統。
推廣——雙子代數
雙子代數是極大代數的推廣。常記為代數系統D=(D，⊕，⊗)。在集合D上定義的運算“加法”(⊕)和“乘法”(⊗)滿足：
1.結合律;
2.加法交換律;
3.乘法對加法的左、右分配律;
4.存在零元ε，對ᗄa∈D有
a⊕ε=a， a⊗ε=ε⊗a=ε;
5.存在么元e，有e⊗a=a⊗e=a;
6.加法具冪等性a⊕a=a.
進而稱雙子為完備的，若其對任意無限多元的“和”封閉且乘法對此無限和具分配律。又稱雙子為阿基米德的，若ᗄa，b∈D，均有c，d∈D，使有a⊗c≥b， d⊗a≥b，這裡≥號意為x≥y⇔x⊕y=x，這時亦稱yx∧y為x，y之交.交與和是對偶運算。還可稱雙子為分配的，若其“和”對“無限交”及“交”對“無限和”的分配律均成立。基於上述運算可以建立雙子代數上的矩陣和線性系統模型，並研究其“線性”代數性質和動態行為反饋控制等問題。
雙子代數的系統研究和套用始於康寧漢-格林(Cuninghame-Green，R.)和科恩(Cohen，G.)等人。其具體形式有多種，較重要者如極大(小)代數、2-D域≪γ，δ≫代數等.它們適用於描述和分析具確定性時間的離散事件過程，諸如柔性製造系統、計畫調度系統等。
