在數學中,一般線性群是指基域K上n×n 可逆矩陣全體組成的矩陣乘法群。
在任何域 F或環 R上的 n 次一般線性群是帶有來自 F(或 R)的元素的 n×n 可逆矩陣的群,帶有矩陣乘法作為群運算。典型符號是 GLn(F)或 GL(n, F),如果域是自明的也可簡寫為 GL(n)。
基本介紹
- 中文名:一般線性群
- 外文名:general linear group
- 所屬學科:群論
- 別名:全線性群
- 性質:典型群
- 記號:GL(V)
簡介,定義,性質,矩陣代數,量子,群,典型群,相似群,酉群,辛群,正交群,
簡介
如果V是在域F上的向量空間,V的一般線性群,寫為GL(V)或Aut(V),是V的所有自同構的群,就是說所有自同構V→V的集合,和與之一起的函式複合作為群運算。如果V有有限維n,則GL(V)和GL(n,F)是同構的。這個同構不是規範的;它依賴於在V中基的選擇。給定V的一組基 (e1, ...,en)和GL(V)中自同構T,則
對於某些F中的常量ajk;對應於T的矩陣就是由ajk作為元素的矩陣。
以類似的方式,對於交換環R群GL(n,R)可以被解釋為n秩的自由R模的自同構的群。還可以對任何模定義GL(M),但是這一般不同構於GL(n,R)(對於任何n)。
一般線性群亦稱全線性群。一類重要的典型群。
定義
若V是體K上n維右線性空間,則V上全體可逆線性變換在映射的乘法下構成一個群,稱為V上的一般線性群,記為GL(V)。
體K上全體n×n可逆方陣在矩陣乘法下構成一個群,稱為K上n次一般線性群,記為GLn(K)或GL(n,K)。
取定V在K上任一組基後可將每個g∈GL(V)對應一個矩陣A∈GLn(K),從而得到GL(V)到GLn(K)上的一個同構。在這個意義下,可以將GL(V)與GLn(K)等同起來。
性質
矩陣代數
設M2為域k上多項式代數k[a,b,c,d],M2(A)為矩陣元取值於代數A的2×2矩陣代數
故M(2)為2×2矩陣簇的坐標k代數。
定義交換代數GL(2)=M(2)[t]/((ad-bc)t-1)
GL(2)上可定義余單位ε
余乘法Δ
以及對極映射S
故GL(2)為交換霍普夫代數。
量子
設q≠-1,考慮x,y滿足量子平面關係xy=qyx,且a,b,c,d與x,y交換
定義x',y',x'',y'',滿足
,
則若x'與y',以及x''與y'',均滿足量子平面關係,可生成關係
ba=qab,db=qbd,ca=qac,dc=qcd,bc=cb,ad-da=(q-q)bc,
當q=1,Mq(2)同構於M(2)。
量子行列式為detq=ad-qbc=da-qbc。
則量子一般線性群定義為GLq(2)=Mq(2)[t]/(tdetq-1)。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合,a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”,運算結果稱為“乘積”)滿足:
(1)封閉性,a·b∈G;
(2)結合律,即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b,在G中存在惟一的元素x,y,使得a·x= b,y·a=b,則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如,所有不等於零的實數,關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法),構成一個群。
滿足交換律的群,稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一,已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱,就存在群。例如,可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質,來定義各種幾何學,即利用變換群對幾何學進行分類。可以說,不了解群,就不可能理解現代數學。
1770年,拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時,首先引入群的概念,而它的名稱,是伽羅華在1830年首先提出的。
典型群
典型群是一類重要的群。一般線性群、酉群、辛群、正交群,以及它們的換位子群、對中心的商群等統稱為典型群。實數域和複數域上的典型群是李群的重要例子,它們的構造及表示在李群理論、幾何學、多複變函數論以至物理學中都起著重要作用。迪克森(Dickson,L.E.)通過對有限域上典型群的構造的研究得到了一大批有限單群.這是繼交錯群之後人們發現的又一批重要的有限單群系列。經過謝瓦萊(Chevalley,C.)的工作進一步擴展為有限李型單群的系列後,為有限單群分類的最後完成奠定了一個重要基礎。迪厄多內(Dieudonné,J.)將迪克森的工作加以推廣,通過研究任意體上的典型群的構造也得到了大量的單群。迪厄多內、施賴埃爾(Schreier,O.)、范·德·瓦爾登(Van der Waerden,B.L.)、華羅庚、萬哲先等對研究典型群的構造、自同構及同構作出了重要貢獻。
相似群
酉群
酉群是一類重要的典型群。在複數域的特殊情形,全體n×n酉方陣在矩陣乘法下構成的群稱為n次酉群,記為U(n)。一般地,設K是帶有對合J:a→a-的體,V是K上n維列向量空間,f(x,y)=x-Hy是V上非退化厄米特型或反厄米特型,這裡H∈GLn(K)且=εH,ε=±1。若A∈GL(V)使f(Ax,Ay)=f(x,y)對所有的x,y∈V成立,則稱A是關於f的酉變換。關於f的全體酉變換組成GL(V)的一個子群,稱為關於f的酉群,記為Un(K,f)。從矩陣的觀點看,Un(K,f)={A∈GLn(K)|HA=H}。當f是交錯雙線性型時Un(K,f)就是辛群Spn(K,f);當K的特徵≠2且f是對稱雙線性型時Un(K,f)就是正交群On(K,f);當K是複數域,J是復共軛,H=I時,酉群Un(K,f)就是酉群U(n)。
辛群
辛群是一類重要的群。辛空間的自同構群。設(V,ω)是一辛空間,若φ:V→V是線性同構且滿足ω(φX,φY)=ω(X,Y),X,Y∈V,則稱φ為(V,ω)的一個自同構.(V,ω)的自同構全體構成群GL(V)的一個子群,記為SP(V,ω)。特別地,標準辛空間(K,ω)的自同構群記為Sp(2n,K)。若K=R(實數域),則把Sp(2n,K)簡記為Sp(2n)並稱它為2n維辛群。
正交群
正交群是一類重要的典型群。在實數域的特殊情形,全體n×n正交方陣在矩陣乘法下構成的群稱為n次正交群,記為O(n)。一般地,設V是域K上n維列向量空間,Q(x)=xAx是V上的非退化二次型(A是K上某個n×n矩陣),若g∈GL(V)使Q(gx)=Q(x)對所有的x∈V成立,則稱g是關於Q的正交變換。關於Q的全體正交變換在映射乘法下構成一個群,稱為關於Q的正交群,記為On(K,Q).當K的特徵≠2時,V上每個非退化對稱雙線性型f也決定一個正交群:
其中Q(x)=f(x,x)/2.當K是實數域,Q是單位二次型Q(x)=x·x時的正交群On(K,Q)就是O(n)。