哈密頓-雅可比方程

在物理學里，哈密頓-雅可比方程 （Hamilton-Jacobi equation，HJE） 是經典力學的一種表述。哈密頓-雅可比方程、牛頓力學、拉格朗日力學、哈密頓力學，這幾個表述是互相全等的。而哈密頓-雅可比方程在辨明守恆的物理量方面，特別有用處。有時候，雖然物理問題的本身無法完全解析，哈密頓-雅可比方程仍舊能夠正確的辨明守恆的物理量。

基本介紹

• 中文名：哈密頓—雅可比方程
• 外文名：Hamilton－Jacobiequation
• 領域：物理學；經典力學
• 簡稱：HJE

簡介

哈密頓—雅可比方程（HJE）是經典哈密頓量一個正則變換，經過該變換得到的結果是一個一階非線性偏微分方程，方程之解描述了系統的行為。與哈密頓運動方程的不同之處在於 HJE 是一個偏微分方程，每個變數對應於一個坐標，而哈密頓方程是一個一階線性方程組，每兩個方程對應於一個坐標。HJE 可以漂亮地解析一些重要問題，例如克卜勒問題。

HJE 是唯一能夠將粒子運動表達為波動的一種力學表述。因此，HJE 滿足了一個長久以來理論物理的研究目標（早至 18 世紀，約翰·伯努利和他的學生皮埃爾·莫佩爾蒂的年代）；那就是，尋找波傳播與粒子運動的相似之處。力學系統的波動方程與薛丁格方程很相似；但並不相同。稍後會有詳細說明。HJE 被認為是從經典力學進入量子力學最近的門階。

數學表述

哈密頓-雅可比方程是一個一階非線性偏微分方程。用數學表達

其中， 是哈密頓量，未知函式 稱為哈密頓主函式， 是廣義坐標， 是積分常數，t是時間。

假若能夠找到哈密頓主函式S的形式，就可以計算出廣義坐標 與廣義動量 隨時間的演變。這樣，可以完全地解析物理系統隨時間的演化。

說明：矢量與標量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置矢量通常用r表示；而其大小則用r來表示。

各種力學表述的比較

哈密頓-雅可比方程是一個一階非線性偏微分方程；其中，函式 有 個廣義坐標 ，和 個獨立的積分常數 。在 HJE 中，哈密頓主函式S有一個很有意思的屬性，它是一種經典作用量。

與拉格朗日力學的拉格朗日方程比較，哈密頓力學裡使用共軛動量而非廣義速度。並且，哈密頓方程乃是一組 個一階微分方程，用來表示 個廣義坐標和 個廣義動量隨時間的演變，而拉格朗日方程則是一組 個二階微分方程，用來表示 個廣義坐標隨時間的演變。

因為 HJE 等價於一個最小積分問題（像哈密頓原理）， HJE 可以用於許多關於變分法的問題。更推廣地，在數學與物理的其它分支，像動力系統、辛幾何、量子混沌理論，都可以用 HJE 來解析問題。例如，HJE 可以用來找尋黎曼流形的測地線，這是黎曼幾何一個很重要的變分法問題。

詳解

在哈密頓力學里，正則變換將一組正則坐標 變換為一組新的正則坐標 ，而同時維持哈密頓方程的型式（稱為型式不變性）。舊的哈密頓方程為

新的哈密頓方程為

這裡， 、 分別為舊的哈密頓量與新的哈密頓量， 是時間。

假若，使用第二型生成函式 來生成新正則坐標，則新舊正則坐標的關係為

而新舊哈密頓量的關係為