哈密頓－雅可比理論，具特定形式的一階常微分方程組（運動方程組）與一個相應的偏微分方程的關係的理論。它來源於分析力學，對經典力學、理論物理、微分方程、微分幾何都有重要的意義。
基本介紹
- 中文名：哈密頓－雅可比理論
- 外文名：Hamiltonian-jacobi theory
解釋,研究途徑,典則變換,
解釋
變分學與哈密頓方程
n自由度力學系(q1，q2，…，qn)的拉格朗日函式l(q，蹐)＝T-U，其中T、U分別是力學系的動能和勢能。哈密頓最小作用原理指出，力學系的運動q=γ(t)使作用 L(у)＝ 達到駐定值。由變分學知道，使 L(у)達到駐定值的 q=у( t)是歐拉－拉格朗日方程 (1) 的解。這是 n個二階常微分方程，稱為拉格朗日方程組。
研究途徑
經典力學研究力學系有兩種途徑。一是由(1)研究(q，蹐)隨t的變化。{q}構成力學系的構形空間M，它是一個微分流形，蹐是M的切向量。這種途徑稱為拉格朗日力學，可以說是力學的切叢表述。
另一途徑是引入廣義動量p=(p1，p2，…，pn)， ，同時通過勒讓德變換引入 哈密頓函式 而得到( q， p)所滿足的 哈密頓方程組（或稱典則方程組，見 哈密頓系統） ，(2) 這個途徑稱為 哈密頓力學。由於 p是 M的餘切向量， 哈密頓力學可以說是力學的餘切叢表述。 在哈密頓力學中最小作用原理也有相應的表述形式，也可討論拉格朗日函式與哈密頓函式顯含時間t的情況。 研究哈密頓力學的數學理論框架，也稱為哈密頓形式化。它對許多數學分支以及力學、理論物理都有重大的意義。
典則變換
典則方程組(2)有許多重要的性質。例如，在運動軌道p=p(t)，q=q(t)上h(p，q)守恆， 由於 h= T+ l，上式實即沿運動軌道機械能守恆。又如，任一力學量 F( p， q)在運動軌道上恆適合方程 ， { h， F}是經典力學中的泊松括弧（見 一階偏微分方程）。
為了討論典則方程組，最有效的方法是作一個變換 φ：(p，q) ( P， Q)=( P( p， q)， Q( p， q)) (3) 使(2)化簡，但由於典則方程組有如上的重要特性，所以仍希望保持其形狀。這種變換稱為典則變換。典則變換有一些等價的定義。例如，它可定義為保持泊松括弧不變的變換。然而，因為有 ， 故由(3)式所表示的 P、 Q也適合 ， 。 利用(3)中的φ 的雅 可比矩陣φ 1，上述可以表示為 ， 若矩陣 A（或線性變換 A）適合 A _ 1 J A＝ J，則稱 A為辛矩陣（或辛變換），所以典則變換的雅 可比矩陣都是辛矩陣。其逆亦然。所以典則變換也可定義為雅 可比矩陣為辛矩陣的變換(3)。
典則變換的重要例子如下：設函式S(q，P)適合 。令 ，則 是局部的典則變換。又如，考慮典則方程組的初值問題： ， ， ， 它的解當｜ t｜充分小時為微分同胚。{ g t}稱為 哈密頓相流：( P， Q)= g t( p， q)。對於每個固定的 t， g t都是典則變換。
典則變換的重要性可從下例看出：著名的克卜勒問題是討論質量為m的質點在勢能為U（r）=-k／r的有心力場中的運動。採用極坐標（r，θ）則拉格朗日函式是 ，作勒讓德變換 ，其 哈密頓函式是 ，由於 h中不顯含 θ，故有 而有 p θ＝常數。這就是角動量守恆。再聯繫到能量守恆，就可容易地解決這個問題。
由直角坐標變為極坐標所起的關鍵作用在於使H中不顯含θ，從而得到一個守恆律。如果作一典則變換（上述坐標變換也可擴充為典則變換）使某些坐標qi不出現在h中，那么也可以得到相應的守恆律pi=常數。這種qi稱為循環坐標。守恆律就是典則方程組的初積分。利用它可以降低方程組的階。這是求解典則方程組最常用的方法。
生成函式、哈密頓－雅可比方程 作典則變換φ：(p，q) ( P， Q)最重要的方法是利用生成函式：在一定條件下存在函式 S( p， Q)使得 ，於是 ， 。 這是一個典則變換， S稱為其生成函式。
一般地，S可以顯含時間t。可以證明S適合偏微分方程 。 (4) (4)稱為 哈密頓－ 雅 可比方程，簡稱H－J方程。 典則方程組(2)是(4)的特徵方程組。由一階偏微分方程理論知，可以通過求解(2)而得出H-J方程的解。但是還有與此對偶的一方面：即通過求解H-J方程得到S，而S是(2)之解作為典則變換的生成函式。從而可解出典則方程組(2)，其法如下： 作H-J方程的完全積分（見一階偏微分方程） ， 令 （新的參數）， ，由它們解出 q= q( t， α， b)， p= p( t， α， b)即得(2)的一族含 2 n個參數( α， b)的解。
以上指出的典則方程組與 H-J方程的關係之兩個對偶的方面，有深刻的物理意義。人們很早就發現光的傳播，服從一個與最小作用原理很相似的變分原理──費馬原理，因而也可以作出典則方程組和 H-J方程的類似物。力學中的運動軌道相應於光學中的光線，光線是幾何光學的基本概念。而生成函式S所成的一族曲面S=常數，則相應于波前面，它是物理光學的基本概念。上述的二者的對偶關係正是反映了幾何光學與物理光學的聯繫。力學與光學之間的這種類比，是量子力學的基礎之一。
