可遺坐標

可遺坐標，又稱循環坐標，是在拉格朗日函式L中不出現或在哈密頓函式H中不出現的廣義坐標。

基本介紹

• 中文名：可遺坐標
• 外文名：ignorable coordinates
• 別稱：循環坐標
• 套用：有心力作用下的質點運動
• 表現：拉格朗日函式、哈密頓函式

定義

可遺坐標又稱循環坐標，是在拉格朗日函式L中不出現或在哈密頓函式H中不出現的廣義坐標。例如在有心力作用下的質點運動，用球坐標(r，φ，θ)表達的拉格朗日函式為：

函式推論

式中T為質點的動能；V為勢函式；m為質點的質量；f(r)為有心力。上式中不出現廣義坐標φ，因而φ是這個系統的一個可遺坐標。如果—系統有某個可遺坐標qi，則有：

此時由系統的拉格朗日方程得到：

因此，該系統有經典的守恆律：與可遺坐標qi相應的廣義動量守恆，即

這是系統拉格朗日方程的一個第一積分，稱為循環積分。1876年E．J．勞思套用循環積分，研究出將拉格朗日方程降階的方法。N個自由度的完整系統，如果有s個可遺坐標，則原2N階的微分方程可降低為2(N-s)階。而仍保持拉格朗日的形式。

對於哈密頓正則系統，如果qi是可遺坐標，根據正則方程，得到與qi對應的廣義動量pi為常數。利用正剛變換可把哈密頓系統儘可能多的廣義坐標變換成可遺坐標。對於這樣的坐標，哈密頓-雅可比方程的全積分的形式比較簡單，其中包含著可遺坐標的一次式。如果選擇正則變換，使變換後的哈密頓函式恆等於零，則變換後的全部廣義坐標都是可遺坐標，此時系統極易求解。按這種考慮所得到的方法就是哈密頓-雅可比方法。