右連左極過程

右連左極過程，即右連左極函式，在數學中，右連左極函式（càdlàg，RCLL）是指定義在實數集或其子集上的處處右連續且有左極限的函式。這類函式在研究有跳躍甚至是需要跳躍的隨機過程時很重要，這類隨機過程不像布朗運動具有連續的樣本軌道。給定定義域上的右連左極函式的集合稱為斯科羅霍德空間（Skorokhod space）。

基本介紹

• 中文名：右連左極過程
• 外文名：corlol process
• 別名：右連左極函式
• 領域：數學

定義

令 為度量空間，並令 。函式 稱為右連左極函式。若對於每一 ，都有左極限存在；且右極限存在並等於 ，即 是右連續的且有左極限。

例子

• 全部連續函式都是右連左極函式。
• 由累積分布函式的定義知所有的累積分布函式都是右連左極函式。

累積分布函式

累積分布函式，又叫分布函式，是機率密度函式的積分，能完整描述一個實隨機變數X的機率分布。一般以大寫“CDF”（CumulativeDistributionFunction）標記。

對於所有實數x ，累積分布函式定義如下：

斯科羅霍德空間

從 到 的所有右連左極函式的集合常記為 或簡記為 ，稱為斯科羅霍德空間，是以烏克蘭數學家阿納托利·斯科羅霍德（Anatoliy Skorokhod）的名字命名。斯科羅霍德空間可以被指派一個拓撲，這一拓撲直覺上能使我們“稍微蠕動空間和時間”（而傳統的一致收斂拓撲僅允許我們“稍微蠕動空間”）。為了簡化說明，取 ， （Billingsley的書中描述了更一般的拓撲）

首先我們必須定義連續性模的一個模擬 。對於任意 ，使

且對於 ，將右連左極函式模（càdlàg modulus）定義為

其中最大下界對所有劃分 ， 都存在，且 。這一定義對於非右連左極函式 是有意義的（就如通常的連續性模對於不連續函式是有意義的）且可以說明 是右連左極函式若且唯若時。

這是令表示從到自身的所有嚴格遞減的連續雙射函式的集合（這些函式是“對時間的蠕動”）。令

表示上的函式的一致範數。將上的斯科羅霍德度量（Skorokhod metric）定義為

其中是恆等函式。以“蠕動”這種直觀感覺來看，度量了“時間的蠕動”，而度量了“空間的蠕動”。

可以證明斯科羅霍德度量度量的確是度量。由生成的拓撲稱為上的斯科羅霍德拓撲（Skorokhod topology）。

斯科羅霍德空間的性質

一致拓撲的一般化

E上的連續函式空間C是D的一個子空間。相對應於C斯科羅霍德拓撲與這裡所述的一致拓撲相一致。

完備性

雖然D不是關於斯科羅霍德度量σ的一個完備空間，但是可以證明存在具完備性的關於D的拓撲等價度量σ₀。

分離性

關於σ或σ₀的D是可分空間，因此斯科羅霍德空間是Polish空間。

斯科羅霍德空間中的胎緊性

通過套用阿爾澤拉－阿斯科利定理，我們可以證明斯科羅霍德空間D上機率測度的一個序列是胎緊的若且唯若同時滿足下列兩個條件：

和

代數結構與拓撲結構

在斯科羅霍德拓撲和函式的逐點加法下，D不是一個拓撲群。