有限變差過程

一過程(A_t)_t∈R+稱為增過程，如果它的所有軌道為R₊上的非負有限值、右連續增函式，兩個增過程之差稱為有限變差過程(process with finite variation)。

基本介紹

• 中文名：有限變差過程
• 外文名：process with finite variation
• 所屬學科：數學
• 相關概念：增過程嗎，變差過程等
• 屬性：一類隨機過程

定義

有限變差過程是一類隨機過程，指可以表為兩個增過程之差的隨機過程。設是一有限變差過程，把

稱為它的變差過程，其中積多戶甩盛分意義是對每個固定的在勒貝格-斯蒂爾傑斯意義下的積分，稱為可積變差過程，如果是可積的，這相當於可表為兩個可積增過程之差。

相關分析

一過程稱為增過程，如果它的所有軌道為上的非負有限值、右連續增函式，兩個增過程之差稱為有限變差過程。

顯然，有限變差過程為右連左極過程，從而適應有限變差過程為可選過程。此外，如果令，則一切有限變差過程都是關於適應的。

設A為一有限變差過程，我們約定，對一切，令，對，我們約定。

對每個上的有限變差函式可以唯一地分解為:，其中為連續有限變差函式，為純斷有限變差函式，我們有

我們稱過程為A 的連續部分，稱為A的純斷部分(或跳部分)。

相關定理

設A為一有限變差過程，稱A為純斷的，如果。民捉櫃

下一定理描繪了適應及可料有限變差過程的結構。

定乃重理1 設A 為一適應(相應地，可料)有限變差過程，則亦然(從而為可料)。此外，存在一列其圖兩兩不相交的嚴格正停時尋茅束(相應地，可料時)，使得

下一定理是前一定理的推論。

定理2 設A 為一純斷適應(相應地，可料)有限變差過程，則存在一列嚴格體章翻正停時(相應地，可料時)(這裡，的圖一般並非兩兩不相交)，及一局贈鴉列實數，使得對一切，有

如果A為增過程，每個可取為正實數。

定理3 設為一適應(相應地，可料)有限變差過程，則A的變差過程為適應(相應地，可料)增過程，且A可表為兩個適應(相應地，可料)增過程之差。

定義設為一可測過程，為一有限變差過程，如果對灶榜永宙一切對一切，Lebesgue-Stieltjes積分

存在且有窮(即，我們稱關於A可積，這時，令

則為有限變差過程，稱為H關於A的隨機Stieltjes積分(或按軌道的Stieltjes積分，記為)。

定理4設為一可測過程，為一有限變差過程，且H關於A可積。

1) 如果為循序的，且為適應的，則為適應的；

2) 如果為可料的，且為可料的，則為可料的。