《不連續泛函微分方程理論及其套用研究》是依託湖南大學，由郭振遠擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：不連續泛函微分方程理論及其套用研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：郭振遠
- 依託單位：湖南大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目一方面基於集值分析和非光滑分析理論，研究右端不連續以及狀態不連續兩種情形下不連續泛函微分方程的基本理論，包括初值問題解的定義方式和基本性質、平衡點和周期解的存在性和穩定性以及由時滯和參數變化引起的分岔和混沌等，特別是不連續泛函微分方程所具有的獨特性質，如，有限時間收斂性以及由不連續引起的分岔和混沌等。既推廣和改善現有的少量結果，又填補國內外不連續泛函微分方程理論研究的一些空白，從而建立不連續泛函微分方程研究的系統理論和方法。另一方面，把不連續泛函微分方程理論和研究方法套用於神經網路、可再生資源開發以及傳染病防控等實際領域中。既深入研究一些具有實際背景的用不連續泛函微分方程刻畫的數學模型的動力學性質，又針對現有的一些含不連續現象的實際動力學問題的連續數學模型進行合理修改，使之更符合客觀實際，再對其深入研究。這些套用結果可以為有關領域的實際工作者和決策者提供理論指導。
結題摘要
在自然科學、社會科學和工程技術中，大量事物的發展變化規律都依賴於過去的狀態，且是不連續的。因此，可以用不連續泛函微分方程來刻畫它們的發展變化。目前，國內外對不連續泛函微分方程的理論和套用研究都很重視。在本項目中，我們採用微分包含理論和非光滑分析相結合的方法針對右端不連續和狀態不連續的兩類泛函微分方程開展了研究。我們獲得了以下結果:（1） 研究了右端不連續泛函微分方程的初值問題。我們給出了右端不連續泛函微分方程初值問題解的定義。在此基礎上，建立了關於右端不連續泛函微分方程解的局部存在性、唯一性、延拓和整體存在性等的一系列定理；（2）研究了右端不連續泛函微分方程的穩定性。給出了右端不連續泛函微分方程的各種穩定性定理、不變性原理和有限時間收斂性定理，並討論了外界擾動對右端不連續泛函微分方程的穩定性的影響；（3）研究了區間不連續系統的動力學性質的魯棒性。基於確定不連續系統某一動力學性質的條件，我們給出了相應的區間不連續系統同一動力學性質的魯棒性準測；（4）研究了具有不連續激勵函式的神經網路的動力學。我們考察了自治的、周期的、概周期的以及高階的四類不連續神經網路平衡點、周期解和概周期解的存在性、全局穩定性以及有限時間收斂性等，得到了這些性質成立的一系列充分條件；（5）研究了不連續治療策略下的傳染病模型。我們能確定基本再生數、證實模型的適定性、刻畫平衡點的結構並證明它們的穩定性\不穩定性和有限時間收斂性；（6）研究了不連續捕獲策略下的漁業經濟學模型。 我們刻畫了平衡點的結構並證明了它們的局部和全局穩定性，給出了滑模解存在的充分條件；（7）研究了憶阻系統的動力學。建立了憶阻以及憶阻神經網路的精確的數學模型，在此基礎上，討論了憶阻神經網路的多穩定性、耗散性、無源性以及同步控制等。總之，我們進一步完善了不連續泛函微分方程的理論，並把理論套用於多個領域，為這些領域的實際工作者和決策者提供了理論方面的指導。
