泛函微分方程中小分母問題的研究

《泛函微分方程中小分母問題的研究》是依託湖南師範大學，由李雪梅擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：泛函微分方程中小分母問題的研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：李雪梅
• 依託單位：湖南師範大學

項目摘要

研究時滯型和中立型泛函微分方程擬周期解的存在性與持久性問題，對時滯微分方程，我們的研究重點將放線上性部分具有重特徵根和零特徵根等這些有某些退化性的情況。研究具有擬周期係數的線性時滯微分方程的約化問題-約化為常係數線性系統或分析特徵指數的分布，這些研究類似於周期線性系統的Floquet理論的研究，也有助於研究非線性時滯微分方程擬周期解的穩定性和持久性等問題。運用KAM理論研究時滯微分方程由平衡點產生的擬周期解和從擬周期解產生的分支等這些擬周期分支。所有這些研究內容涉及到小分母的處理，由於泛函微分方程的解空間結構的特殊性和特徵方程是超越函式方程，在運用KAM理論和技術研究泛函微分方程中這些與小分母有關的問題時會出現一些新的困難需要克服，而且對泛函微分方程的這些研究才剛剛開始。通過本申請項目的研究可進一步發展KAM理論和技術，也能豐富泛函微分方程的理論。這些研究具有重要的理論意義。

結題摘要

我們使用KAM理論嚴格地證明了在解析四維常微方程系統的雙Hopf分支理論中，在適當的條件下對截斷正規形有2-維或3-維擬周期不變環面存在的參數中的大部分，原系統也存在2-維或3-維擬周期不變環面；我們利用解析逼近理論對具有多重退化性的有限光滑動力系統建立了一個KAM定理，並把所獲得的結論套用於時滯微分方程的多重Hopf分支和多重Hopf-Zero分支中，給出了截斷正規形擬周期不變環面持久的充分條件，這些條件是通過截斷正規形的係數給出的，便於驗證。研究了當常微分方程和時滯微分方程具有橢圓退化平衡點（即有零特徵值）時擬周期解的存在性問題，並且我們把所獲結果套用於時滯van der Pol 振子這個具體模型獲得了其擬周期解的存在性。我們比較系統地研究了偶合振子（包括具有時滯的）擬周期解的存在性：研究了單擺方程擬周期不變環面的存在性問題，證明了具有擬周期外力作用的單擺方程擬周期解的存在性，從理論上證實了一些文獻中的數值模擬現象；研究了van der Pol-Mathieu-Duffing（PMD）方程4-維擬周期解不變環面的存在性問題，證明了對大部分的頻率參數，PMD方程存在4-維擬周期不變環面；研究了2-3個耦合van der Pol 方程擬周期解的存在性問題，證明了對（Lebesgue 測度意義下的）大部分參數，在極坐標表示下的平均系統的不變2-或3-維環面附近，原系統也存在相應維數的不變環面等。研究了廣義Gopalsamy時滯神經網路的雙Hopf分支中擬周期不變環面的存在性和時滯雙向聯想記憶神經網路模型的Hopf分支和雙Hopf分支等問題；研究了帶參數激勵的Josephson系統當參數變化時，動力學行為的變化情況，通過Melnikov方法，給出了在周期擾動下系統產生混沌的條件以及在未擾動中心附近的諧波解的存在性和分支。我們還研究了Poschel的無窮維KAM定理中擾動大小和環面維數之間的關係、具有奇異位勢的Schrodinger方程擬周期不變環面的存在性、具有Anharmonic勢的相對論振子周期與擬周期解的存在性等。 所有這些研究內容涉及到小分母的處理，特別是分支理論中擬周期不變環面持久性這一部分研究內容還涉及到退化性和只有有限光滑性，使得研究更為困難。通過本項目的研究進一步發展KAM理論和技術，以及套用範圍，具有重要的理論意義。