《隨機偏泛函微分方程的基本理論及其套用》是依託上海師範大學，由蔣繼發擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：隨機偏泛函微分方程的基本理論及其套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：蔣繼發
- 依託單位：上海師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
這一項目研究隨機偏泛函微分方程的基本理論：包括適定性和正則性理論、比較原理、隨機流的存在性。首先，假設二階微分運算元是一致橢圓的，在適當選擇的函式空間中，討論受白噪聲驅動的隨機偏泛函微分方程初值/初邊值問題解的存在唯一性；接著，重點研究帶有白噪聲的隨機線性偏泛函微分方程，在漂移（drift）和擴散(diffusion)係數充分光滑的前提下， 給出擴散和漂移係數的幾何限制，使得解對空間變數能夠達到預先給定的光滑階數；利用這些正則性結果， 給出解對初值連續、隨機流/共環（cocycle）存在的條件。這些工作是用動力系統方法研究隨機偏泛函微分方程最基礎性的部分。另一基礎性工作就是隨機泛函微分方程的比較原理，證明隨機常泛函微分方程組/單個隨機偏泛函微分方程的比較原理， 給出隨機泛函微分方程的解產生隨機單調/強單調動力系統的充分條件。給出隨機吸引子和穩定平穩解的存在準則。
結題摘要
研究了由加法噪聲驅動的時滯反應擴散方程的Cauchy問題和格方程。引入了Ornstein-Uhlenbeck變換， 把這類隨機方程變換成帶隨機參數的時滯系統， 證明變換前後方程解之間的隨機共軛變換。由此獲得隨機系統的解生成一個隨機流。運用尾估計技術導出了有界吸收集的存在性和和隨機流的拉回的漸近緊性。最終獲得隨機吸引子的存在性。考慮兩個隨機泛函微分方程， 它們的擴散項相同且獨立於時滯，至少一個漂移項滿足標準的擬單調條件，我們證明它們的解具有比較原理。它是獲得隨機泛函微分方程解生成隨機單調動力系統的基本定理，並且能提供某些隨機系統精確動力系統性態的描述。建立了兩種群競爭兩種營養物，且Monod 係數非常值的攪拌非均勻的孵化器反應擴散方程組。利用系統的兩個守恆率把系統約化，約化後方程具有極值原理和兩個次線性的不變子系統。利用上下解理論， 我們給出整個系統的兩個種群都熄滅、一個熄滅另一個生存和兩種群都持續生存的條件。對長度為一的合作cascade 系統，我們證明其收斂軌線的點集包含一個開的稠密集合。利用變分原理， 給出幾類二階周期Hamilton系統同宿軌道的存在性。
