中立型泛函微分方程的多參數分支研究

《中立型泛函微分方程的多參數分支研究》是依託哈爾濱工業大學，由牛犇擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：中立型泛函微分方程的多參數分支研究
• 依託單位：哈爾濱工業大學
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：牛犇

項目摘要

中立型泛函微分方程在理論上可看成是滯後型泛函微分方程的推廣,由於考慮了歷史狀態及其變化率對當前狀態的影響，這類方程在控制、生態等領域都有廣泛套用。因為時滯及中立項的存在,系統出現了極其複雜的動力學行為，同時，在實際問題中需研究多個參數對系統的綜合影響，所以其多參數分支分析尤為重要。本項目主要研究中立型方程中多個參數共同變化時出現的高余維分支問題,藉助運算元半群理論、泛函微分方程形式伴隨理論、中心流形定理，發展和推廣規範型方法，結合多時間尺度計算、計算機符號推導工具和數值仿真,完善中立型泛函微分方程高余維分支分析的理論,並用計算機實現通用的推導過程，得到分支點附近完整的動力學行為。進一步，將這些多參數分支分析結果套用到具有實際背景的中立型方程的分支研究中，預測或解釋系統中的多周期軌共存、不變環面、同宿軌、異宿軌和混沌等複雜現象。該項目的研究既可豐富動力系統分支理論，又能直接套用到實際問題中。

結題摘要

中立型泛函微分方程可以看成是滯後型泛函微分方程的推廣，它在生態學、經濟學、物理學、生物數學模型中有廣泛的套用。研究此類方程的多參數分支可以對系統中產生的多穩態共存現象、周期擬周期振動現象、同（異）宿軌現象甚至混沌現象給出理論解釋。 本項目針對中立型泛函微分方程的高余維分支進行了研究，理論上推廣了有關滯後型泛函微分方程的研究結果，得到了中立型泛函微分方程在雙Hopf分支、等變Hopf分支、Bautin分支和Bogdanov-Takens分支點附近的規範型。通過分析規範型，得到了分支點附近系統的動力學行為。 本項目主要得到以下研究結果： 第一，針對一類帶有中立項的食餌捕食者模型，研究了中立項的係數和時滯對系統動力學行為的影響，給出了系統產生Hopf分支和雙Hopf分支的條件，理論上得到了系統中產生的擬周期振動現象。 第二，針對具時滯的耦合Kuramoto模型，研究了時滯和耦合強度為參數的分支行為。發展O-A流形約化方法將系統約化為時滯微分方程，系統的同步行為可以由約化方程產生Hopf分支來刻畫。通過研究約化方程的Hopf分支，對耦合Kuramoto系統中的遲滯回線現象和同步態共存現象給出了理論解釋；通過研究約化方程的Bautin分支，得到了系統中Hopf分支臨界性發生轉變的具體方式，得到了周期解的鞍結點分支產生的條件，發現Kuramoto模型中會出現多個穩定的同步現象共存。 第三，研究了一類帶環狀耦合結構和時滯效應的系統，分析了系統中的Hopf分支和等變Hopf分支的存在性及其性質，給出了系統中多個鎖相振動共存的理論解釋。 第四，討論了一類帶有兩個不同時滯的定價模型的動力學性質，研究了系統中產生的Hopf分支現象，給出了分支性質和全局Hopf分支的存在性。 第五，討論了一類帶有離散和分布時滯的雙神經元模型的Hopf-pitchfork分支，給出了系統產生分支的條件和分支點附近的規範型，從而進一步得到了分支點附近的完整動力學行為。