非線性時滯微分方程的高余維分支問題研究

《非線性時滯微分方程的高余維分支問題研究》是依託哈爾濱工業大學，由蔣衛華擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：非線性時滯微分方程的高余維分支問題研究
• 依託單位：哈爾濱工業大學
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：蔣衛華

項目摘要

時滯微分方程的高余維分支問題是非線性動力學研究中重要而處於起步研究階段的問題。本項目主要研究滯後型和中立型微分方程中的共振Hopf-Hopf分支、冪零分支、有某種退化的Hopf-zero分支等不同模態的高余維分支問題，考慮解的拓撲結構是如何隨時滯以及其它系統參數的變化而變化的，並進一步考慮如何利用時滯和系統可控參數去控制系統的動力學行為。主要目標是建立和完善高余維分支的規範型理論，給出規範型的開折形式乃至普適開折形式及其推導簡化方法，解釋其伴有的周期軌分支、環面分支、同宿異宿分支等帶來的解軌道的新現象。時滯微分方程的相空間是無窮維的，其動力學行為非常豐富，分支的高余維數更是導致了動力學性質的複雜性，如出現穩定的擬周期軌、同宿及異宿軌和混沌現象等。建立和發展闡明這些行為機理的理論，不僅可以豐富微分方程和動力系統自身的理論，也可能推動拓撲、代數、泛函分析及計算數學等相關學科的發展。

結題摘要

時滯廣泛地存在於自然和工程實際中，時滯可以引起系統失穩而出現分支、混沌等複雜的動力學現象。高余維分支的研究是建立和發展闡明周期軌、同宿異宿軌和混沌等複雜動力學行為機理的理論，是非線性動力學研究中的重要組成部分。 本項目主要研究了滯後型泛函微分方程、中立型泛函微分方程以及偏泛函微分方程的Hopf-zero分支、Bogdanov-Takens分支、Hopf-Hopf以及各模態的Turing-Hopf分支等多種高余維數分支的發生機理，建立了這些方程在高余維數分支點的帶有普適參數的規範型算法，得到了規範型的開折形式乃至普適開折形式。對於分支性質原不完全清楚的saddle-node-Hopf分支，建立了藉助於中心流形理論和規範型方法的研究模式，得到了其分支集和相圖，給出了異宿軌分支和二次Hopf分支的用系統原參數表達的局部近似表達式以及穩定的平衡點、周期軌、擬周期軌局部存在的參數區域。理論上研究了由中心流形方法和多時間尺度方法導出三階約化規範型的一致性問題。將Kuramoto耦合大系統的同步模式問題研究轉化為在Ott－Antonsen流形上的Hopf分支以及Bautin分支和雙Hopf分支等高余維分支的研究，建立了遲滯迴路存在的臨界條件，證明了其存在性結果。對於捕食-食餌系統等有實際背景的模型，從高余維分支的角度揭示了時滯和其他可控系統參數對系統可能出現的周期軌、擬周期軌、同宿、異宿軌的存在性及穩定性的影響，解釋了實際問題中種群數量變化的某些規律性結果。本項目發表研究論文34篇,其中被SCI 檢索32篇。微分方程的周期軌、擬周期軌、同宿、異宿軌等解軌道的存在性和穩定性是非線性動力學研究中的重要問題，本項目關於高余維分支的研究結果為上述問題的解決提供了一條可行的研究途徑，充實和豐富了微分方程和動力系統研究的理論和方法。