《非線性中立型泛函微分方程高階保穩定性算法及其套用》是依託長沙理工大學，由王晚生擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：非線性中立型泛函微分方程高階保穩定性算法及其套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：王晚生
- 依託單位：長沙理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
尋求保穩定性的算法一直是常微分方程數值解的重要研究工作之一，中立型泛函微分方程在自動控制、電力系統、生物學、電動力學等領域有廣泛套用，其數值方法保穩定性分析具有毋庸置疑的重要性。對非線性中立型泛函微分方程低階保穩定性算法，我們已有較深入地研究。在這一基礎上尋求非線性中立型泛函微分方程的高階保穩定性算法成為本項目的主要研究內容，具體包括以下三個方面：（1）研究非線性中立型比例延遲微分方程數值方法的保穩定性及高階保穩定性算法；（2）在前項工作的基礎上，研究更一般的非線性中立型泛函微分方程數值方法的保穩定性及高階保穩定性算法；（3）將所獲一般結果及高階保穩定性算法套用於非線性中立型延遲積分微分方程這一特殊情形及中立型部分元等效電路模型這一實際問題，結合各自的特點獲得相應的高階保穩定性算法。本項目的研究成果不僅可以促進相關研究領域的進一步發展，而且可為工程實際問題中的科學計算提供新的方法和技術。
結題摘要
基於項目研究計畫，我們較系統地研究了非線性中立型比例延遲微分方程(NPDDEs)數值方法的穩定性和耗散性、非線性中立型延遲積分微分方程(NDIDEs)的數值穩定性以及更一般的非線性中立型泛函微分方程(NFDEs)數值方法的穩定性和收斂性。對NPDDEs，獲得了系統耗散的充分條件，研究了隱式Euler方法的保耗散性，建立了一致格線上由θ-方法所獲數值解的上界估計，獲得了幾何格線上Runge-Kutta方法的穩定性；對包含比例延遲微分方程的變延遲微分方程，設計了四個基於單支方法的一致格線上求解這類方程的算法，並分析了這些算法的收斂性。對一般的非線性NFDEs，獲得了這類方程理論解穩定、漸近穩定及指數穩定的充分條件，統一了此前相關結果，為這類方程的數值穩定性研究奠定了理論基礎；在此基礎上，研究了一致格線上帶高階插值的顯式和對角隱式Runge-Kutta(RK)方法的穩定性，分析了非一致格線上帶高階插值的高階代數穩定RK方法的穩定性和收斂性。作為非線性NFDEs的一個特例---非線性NDIDEs，深入分析了數值方法的穩定性：獲得了中立型多延遲積分微分方程（積分核不含導數項）理論解漸近穩定的充分條件，討論了RK方法求解此類方程的漸近穩定性；利用廣義Halanay不等式，給出了NDIDEs（積分核含導數項）穩定的兩個充分條件，並深入分析了RK方法、單支方法求解此類方程的數值穩定性；當套用這些結果於延遲積分微分方程這一特例時，我們的結果更具有一般性。此外，基於Runge-Kutta方法構造了求解非線性中立型分片常數延遲微分方程的兩類算法，證明了它們的保穩定性；對偏泛函微分方程，建立了non-Fickian 延遲反應-擴散方程真解及數值解的長時間行為。研究成果具有重要的理論意義。完全建立了非線性NFDEs理論解的穩定性理論，統一了此前關於中立型延遲微分方程(NDDEs)、NDIDEs等理論結果；提供了論證這些方程數值穩定性的一般方法，為這些方程理論及算法的進一步研究奠定了堅實的理論基礎。另一方面，由於NDDEs及更一般的NFDEs廣泛出現於電動力學、通訊網路、生物學及控制理論等科技領域，而其理論解一般難以獲得，其數值解法是必然手段，因而上述研究成果具有廣闊的套用前景。上述研究成果為這些方程的數值求解提供了算法指導和理論指南。
