《非線性泛函微分方程高階耗散方法及其後驗誤差估計》是依託長沙理工大學，由王晚生擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：非線性泛函微分方程高階耗散方法及其後驗誤差估計
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：王晚生
- 依託單位：長沙理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
尋求保持系統原有特性的算法及利用系統原有特性設計高效算法一直是微分方程數值解中的兩個重要研究工作。本項目將尋求非線性常及偏泛函微分方程的高階耗散算法並利用耗散系統內蘊性質設計高效算法及獲得後驗誤差估計。主要包括三個方面：（1）研究非線性泛函微分方程高階耗散算法並基於高階重建給出其後驗誤差估計；（2）研究非線性偏泛函微分方程耗散系統空間離散的兩格線和後處理技術，在此基礎上研究高階時間積分方法和全離散後處理高效算法，並導出後驗誤差估計；（3）將所獲理論結果及高效算法套用於延遲反應擴散方程及延遲Navier-Stokes方程，結合各自特點構造其高精度快速算法並獲得其後驗誤差估計。本項目涉及的一些研究內容尚屬國內外空白，而我們對非線性泛函微分方程數值解的研究已有一定基礎，有望在這些研究內容上取得成果。這些成果不僅可以促進相關研究領域的進一步發展，而且可為工程實際問題中的科學計算提供新的方法和技術。
結題摘要
尋求保持系統原有特性的算法及利用系統原有特性設計高效算法一直是微分方程數值解中的兩個重要研究工作。本項目通過尋求非線性常及偏泛函微分方程的高階耗散算法並利用耗散系統內蘊性質來設計高效算法進而獲得這些算法的後驗誤差估計，為自適應計算奠定了理論基礎。基於項目研究計畫，我們較系統地研究了非線性Hale型中立型泛函微分方程及一般形式中立型泛函微分方程的數值解法，獲得了這兩類方程系統耗散的充分條件，統一了已有的關於延遲微分方程、延遲積分微分方程的理論結果，獲得了保耗散的高階Runge-Kutta方法。系統獲得了一般形式非線性中立型泛函微分方程理論解穩定、漸近穩定、收縮及指數穩定的充分條件，統一了已有文獻中關於Volterra泛函微分方程、中立型延遲微分方程、中立型延遲積分微分方程等各種類型的泛函微分方程的結果，為非線性中立型泛函微分方程的數值求解奠定了堅實基礎；以此為基礎，研究了非線性泛函微分方程高階Runge-Kutta方法、A-穩定單支方法的保穩定性以及非線性中立型比例延遲微分方程全幾何格線Runge-Kutta方法和單支方法的穩定性，建立起非線性中立型泛函微分方程數值穩定性的統一理論。利用非線性Cahn-Hilliard方程、非線性反應擴散方程、非線性偏積分微分方程的耗散特性，構造了高效的兩格線後處理算法。證明了拋物型方程變步長BDF2方法後驗誤差估計子的最優性，解決了這一開問題，獲得了延遲反應擴散方程的後驗誤差估計。證明了延遲Navier-Stokes方程隱式Euler方法、線性隱式Euler方法的保耗散性。研究成果具有重要的理論意義。初步建立了非線性中立型泛函微分方程系統的耗散理論，統一了此前關於延遲微分方程、延遲積分微分方程等理論結果；提供了論證這些方程數值耗散性的一般方法，為這些方程理論及算法的進一步研究奠定了堅實的理論基礎。 另一方面，我們將所獲研究成果已套用於金融期權中的Black-Scholes方程，建立起高效算法。鑒於常及偏泛函微分方程廣泛出現於電動力學、通訊網路、生物學及控制理論等科技領域，包含多種類型的數學物理方程，而這些方程的理論解難以獲得，其數值解法是必然手段，因而本項目的研究成果具有廣闊的套用前景。上述研究成果為這些方程的數值求解提供了算法指導和理論指南。
