三維Helmholtz方程外問題的人工邊界法及其區域分解算法研究

《三維Helmholtz方程外問題的人工邊界法及其區域分解算法研究》是依託長沙理工大學，由羅煦瓊擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：三維Helmholtz方程外問題的人工邊界法及其區域分解算法研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：羅煦瓊
• 依託單位：長沙理工大學

項目摘要

Helmholtz方程外問題是計算電磁學領域中的熱點問題之一，一直受到數值計算研究者的廣泛關注。本項目主要研究三維Helmholtz方程外問題的人工邊界法及其區域分解算法。基於長橢球面、扁橢球面、一般橢球面和圓柱面人工邊界，給出三維Helmholtz方程外問題的精確人工邊界條件和相應的數值算法，分析數值計算的誤差與人工邊界位置之間的關係；研究該問題基於長橢球面、扁橢球面、一般橢球面和圓柱面自然邊界歸化的重疊型和非重疊型區域分解算法，分別給出兩種算法的收斂性、收斂速度和誤差估計，分析數值計算速度與區域重疊度之間的關係，設計出一些高精度的數值算法；針對人工邊界條件中的奇異積分問題，藉助樣條函式插值方法，探索其有效的數值方法。本項目的研究將進一步推動電磁場問題的數值計算和相應的理論分析研究，具有十分重要的理論意義和套用價值。

結題摘要

人工邊界法是求解無界區域上偏微分方程外問題的一種十分重要的方法。本項目研究了無界區域上三維Helmholtz方程、三維Poisson方程外問題的數值解，並對相關超奇異積分問題進行了拓展性研究。具體工作包含以下內容： 1. 無界區域上三維Poisson方程外問題的人工邊界法與區域分解法。通過構造長橢球人工邊界，減少了長條型無界區域微分方程外問題的計算量。同時，推導了長橢球人工邊界區域三維Poisson方程邊值問題的Poisson積分公式和自然積分方程。利用區域分解法（或D-N交替法）將無界區域分解為兩個子區域，結合人工邊界法將數值結果在人工邊界上交替疊代，進一步提高了計算精度。 2. 研究了結合三次B樣條函式插值法、自適應移動格線技術和自適應差分進化法求解超奇異積分方程。首先，結合上述三種方法研究並求解奇異攝動對流擴散方程，取得了很好的計算效果。通過與其他智慧型算法（PSO，CLPSO，rcGA，CMA-ES，DE，SaDE，JADE）相比較，自適應差分進化算法（jDE）更加高效、穩定。我們將進一步推廣該方法來求解超奇異積分方程。 3. 研究了區域分解法後的有界計算區域的快速計算問題。我們使用使用混合有限元對有界區域進行離散，並設計混合有限元法的兩層格線算法。通過收斂性分析和數值算例，兩層格線算法能夠保持混合有限元法相同的精度，同時大大節約了數值計算時間。另外，我們還研究了常微分方程的連續級龍格-庫塔法數值解。上述研究將進一步推動人工邊界法在無界區域偏微分方程數值計算上的套用。