《幾何和物理中的非線性偏微分方程》是依託華中師範大學，由鄭高峰擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：幾何和物理中的非線性偏微分方程
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：鄭高峰
- 依託單位：華中師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
幾何和物理中的很多問題都可以由偏微分方程來描述。本項目擬考慮Willmore流及曲面擴散方程解的爆破性，平均曲率流的解的可延拓性，以及具有粗糙表面的電磁波的散射和逆散射問題。這些問題在理論上都具有一定的挑戰。G. Simonett, E. Kuwert 和R. Schätzle 在球面上的Willmore流的研究方面得到了一些整體存在性結果。我們的目標是研究對初始曲面加什麼條件時，Willmore流或曲面擴散流在有限時刻出現奇性。而對於平均曲率流的解的延拓，我們試圖通過要求平均曲率一致有界推導出解可以繼續往後延拓。我們還研究具有RCD*(K,N)條件的度量測度空間上的非線性橢圓和拋物方程的解的存在性和解的性質。關於物理中的問題，我們著重考慮無界區域上的電磁波的散射和逆散射問題，我們將通過廣義的Lax-Milgram定理以及Hodge-Helmholtz分解證明相應變分問題的解的存在唯一性。
結題摘要
本項目主要研究幾何和物理中的一些偏微分方程。在拋物型Allen-Cahn方程的研究中，我們利用幾何測度論和解的精細估計，證明了當參數收斂到零時由解生成的能量測度的重整化測度收斂到一個Radon測度，該測度誘導出一族Varifold, 它們幾乎處處是Rectifiable，而且形成了廣義平均曲率流，即Brakke 流。在平均曲率流的第三類爆破問題上，我們證明了平均曲率流的自擴張子的單調性公式，並利用它研究非緊超曲面上平均曲率流第三類爆破在無窮遠時刻的漸近行為。我們證明了在一定條件下，平均曲率流第三類爆破解在無窮遠處在子列意義下收斂到滿足平均曲率向量等於位置向量的法向部分這一條件的超曲面。在電磁波的散射問題的研究上，我們考慮在三維空間上半平面上的時諧Maxwell方程。以前的工作考慮的一般都是物質參數具有正的虛部的情形。在某些地方物質參數是實數的情況時人們討論的是一些特殊的情形。而一般情形是一個公開問題，我們試圖考慮這種更一般的物質參數的情形。通過Hodge分解、推廣的Lax-Milgram、以及解的先驗估計等方法得到了在滿足輻射條件下，電磁波的散射場的存在唯一性。
