《幾何與物理中若干非線性方程的存在性和奇性問題研究》是依託武漢大學，由陳群擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：幾何與物理中若干非線性方程的存在性和奇性問題研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：陳群
- 依託單位：武漢大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
在現代幾何與理論物理中，許多重要問題可以表示為流形上的非線性微分方程, 或者能夠運用微分方程的理論方法加以解決。這些非線性方程解的存在性是分析學中的基本問題，同時，它們又直接或間接地給出幾何與物理問題的解。這些方程的解可能會產生奇性，這不僅對於解的存在性問題至關重要，而且奇性本身往往具有豐富的幾何拓撲性質，這類現象在近年來關於調和映照及其熱流、平均曲率流和Ricci流的研究中不斷地得到了印證。本項目計畫對流形上若干非線性方程解的存在性和奇性問題展開研究。我們將研究拉克-測地線熱流整體解的收斂性、二維以上情形狄拉克-調和映照熱流的整體解的存在性、解的收斂性，以及解的Blow up性質等問題；研究廣義調和映照及相應的廣義調和映照熱流的存在性、奇性等幾何分析性質及其幾何套用；研究其它幾何非線性方程的奇性解與帶幾何奇性流形上的的非線性微分方程。
結題摘要
本項目研究了黎曼流形之間的廣義調和映照、狄拉克-調和映照，相應於廣義調和映照，研究了V-Laplace 運算元的非線性方程、Ricci-Bourguinon流、Riemann 流形上的臨界指數非線性方程等問題。 我們引入了一類新的廣義調和映照，即VT-調和映照，它們有豐富的幾何與物理背景。我們得到了VT-調和映照以及VT-調和映照熱流方程解的存在性、唯一性定理，作為套用，得到Weyl流形、Hermitie流形、仿射流形之間調和映照，以及2維黎曼流形出發磁力調和映照的存在性定理；我們得到了完備非緊黎曼spin流形出發的帶曲率項狄拉克-調和映照梯度估計和Liouville型定理；建立了V-Laplace 運算元的非線性拋物型方程解的Li-Yau型估計，Harnack不等式，以及Souplet--Zhang型估計；得到了概Hermitie流形之間V-調和映照的 Schwarz 引理並給出其在全純映照的套用；我們還得到了Ricci-Bourguinon流的拓展定理, Riemann 流形上臨界指數非線性方程正解的存在性定理等結果。
