《多重耦合非線性偏微分方程組的奇性解》是依託大連理工大學,由鄭斯寧擔任醒目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：多重耦合非線性偏微分方程組的奇性解
- 依託單位：大連理工大學
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：鄭斯寧
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目將以申請人多年積累的處理各種耦合組問題的經驗和前期工作為基礎，借鑑國際學術前沿最新進展，研究多重耦合非線性問題奇性解的如下問題：奇性生成機理與臨界指標；各分量奇性的區別與聯繫；blow-up或quenching 速率、點集估計，以及奇性傳播過程中interface, profile，boundary layer演化估計等。多重耦合指兩種或兩種以上非線性耦合，包括由非線性擴散（二階項耦合）、對流（一階項耦合）、內源（零階項耦合）、邊界流（邊界項耦合）等所形成的耦合。每種非線性都有特定的物理意義，其相互作用及多重耦合導致解的複雜的奇性生成機理與漸近行為。與弱耦合情形相比，高階項耦合（即強耦合）具有本質性困難。本項目還將研究四階拋物組的奇性解。由於比較原理不成立等原因，相關研究將更具挑戰性。本項目預期就以上內容發表一批特色鮮明的研究成果，解決該領域1-2個公開問題或具有較大影響的問題。
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結題摘要
關於非線性偏微分方程（組）解的奇性分析與臨界指標的研究一直是本團隊的傳統優勢方向，通過前四個項目的積累已有很好的基礎。本項目繼續深入研究了多個非線性拋物方程（組）奇性生成機理與臨界指標，blow-up (或quenching) 速率及點集估計，奇性解中的interface， profile，boundary layer 演化估計等問題外，特別將關於Fujita臨界指標的研究推進到偽拋物方程（組）問題、非局部擴散問題等非經典拋物方程（組），以及更深層次的關於Fujita第二臨界指標的研究，取得一系列成果。我們還對非線性PDEs奇性解分析的主要工具之一的re-scaling方法做了本質性改進：不是從穩態解的存在與不存在性找矛盾，而是在穩態問題存在正解的前提下，進一步分析極限函式與該穩態問題正解之間關於空間變數的衰減階是否一致，在這一更高層次尋找矛盾。在處理高階問題時， 則把奇性分析工作延展到運用移動平面法證明高階橢圓方程組的Liouville型定理上。值得一提的是，本項目以強耦合機製作為切入點，開始涉足Keller-Segel方程組的研究，並已得到關於非經典K-S方程組的多個重要結果（包括解決體積填充Keller-Segel方程組整體解漸近估計的一個公開問題），成為我們申請下一個基金項目的充分準備和堅實基礎。
