幾何中完全非線性橢圓偏微分方程的斜邊值問題

《幾何中完全非線性橢圓偏微分方程的斜邊值問題》是依託上海師範大學，由徐金菊擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：幾何中完全非線性橢圓偏微分方程的斜邊值問題
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：徐金菊
• 依託單位：上海師範大學

項目摘要

本項目主要研究幾何中完全非線性橢圓方程的以下三個斜邊值問題的解的存在性：一是歐氏空間中帶邊 k-Yamabe 問題；二是球上 Monge-Ampere 方程半線性斜邊值問題；三是 Hessian 方程的預定夾角問題。帶邊 k-Yamabe 問題來自於共形幾何中的經典 Yamabe 問題，本質上是 Neumann 問題；半線性斜邊值問題是 Neumann 邊值問題的推廣；預定夾角問題來自於物理中的毛細問題。解的存在性是偏微分方程的邊值問題墊烏祝戰研究中的基本問題之一。通過選取不同體料棕的適當的輔助函式，分別建立解的直到放采拳疊二階導數的先驗估計。運用橢圓方整陵項程的標準理論幾雄，分別得到這三個邊值問題的解的存在性。此課題的研究將完善橢圓方程基本理論的發展，並且對共形幾何的發展起到很好的推動作用。同時研究的方法或技巧有較多創新，力求對這些問題有所進展。

結題摘要

本項目主要研究幾何中完全非線性橢圓方程的斜邊值問題的解的存在唯一性，主要包括平均曲率方程及平均曲率流的的預定夾角邊值問題、Neumann邊值問題及一般的斜導數邊值問題。半線性斜邊值問題是 Neumann 邊值問題的推廣，預定夾角問題來自於物理中的毛細問題。解的存在唯一性是偏微分方程邊值問題研究中的基本並且非常重要的問題之一。通過選取不同的適當的輔助函式，運用極大值原理的方法分別建立解的最大模估計、梯度估計棗凳刪、二階導數估計等的先驗估計。然後再由橢圓偏微分方程的標準理論，將分別得到這三個邊值問題的解的存在性。並將這些結果推廣到黎曼流形上及相應的堡棄蘭拋物方程。此課題的研究將完善橢圓偏微分方程的基本理論，並且對其他完全非線性橢圓方程比如Monge-Ampere 方程、K-Hessian 方程的邊值問題的解決起到很好的推動作用。