快速多極邊界元方法的歸一化算法研究

《快速多極邊界元方法的歸一化算法研究》是依託西北大學，由孟文輝擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：快速多極邊界元方法的歸一化算法研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：孟文輝
• 依託單位：西北大學

項目摘要

快速多極算法被稱為二十世紀十大算法之一。在處理某些大尺度問題時，快速多極算法與邊界元方法的結合可以加速問題的求解，現有的快速多極邊界元方法在對不同的科學與工程問題進行求解時，需要編制不同的快速多極算法程式。本項目研究快速多極邊界元方法的歸一化算法，所謂歸一化，就是指用一個統一的快速多極算法計算程式來實現很多科學與工程中邊界元問題的快速求解。針對不同問題的邊界積分方程，尋求某一類或幾類函式系，將積分方程中積分運算元的核函式在這些函式系中進行展開，然後再對這些函式系進行快速多極算法的相關展開和轉換處理，分析展開式的誤差並設計出算法的程式。快速多極邊界元歸一化算法的實現將為邊界元方法在科學與工程相關領域中的套用開拓一片新的天地。

結題摘要

本項目首先對Helmholtz方程的周期Green函式的截斷誤差收斂階進行了理論證明。根據Hankel函式在變數趨於無窮大時的漸近展開式，並結合Abel不等式，證明了Helmholtz方程周期Green函式及其一階偏導和二階混合偏導的一致收斂性及其截斷誤差的收斂階，並通過數值實驗驗證了理論證明的正確性，我們所使用的證明方法也可被用於證明其它一些方程周期Green函式的收斂性問題。 其次，根據Bessel函式及Neumann函式在階數趨於無窮大時的漸近展開式，給出了這兩類函式的一個上界，然後再套用這一上界估計了Bessel函式，Neumann函式和Hankel函式所對應的Graf加法公式的截斷誤差，我們所給出的誤差上界是一個不包含任何任意常數的顯式函式，進而由此得出了以上幾類函式所對應的Graf加法公式的截斷誤差收斂階。數值算例結果表明我們所給出的誤差界不僅比已有的結果精確，並且隨著截斷數p的增大，誤差界漸近於實際誤差，從而表明了收斂階的準確性。 再次，為了更好的研究FMM算法的整體誤差，我們採用另一種方法來估計Graf加法公式的截斷誤差。根據Bessel函式及Neumann函式在變數趨於0時的極限形式對其上界進行估計，然後再進一步估計出了以上幾類函式所對應的Graf加法公式的截斷誤差，通過該方法得到的新的截斷誤差界不僅比先前的結果更精確，並且形式上更簡單。我們從理論分析和數值實驗兩方面都驗證了新截斷誤差界的精確性，因此該結果可以用來進一步估計FMM算法的整體誤差。 最後，本項目以Helmholtz方程邊值問題的FMM算法為基礎，首先從理論上給出了算法整體誤差的表述形式，算法的整體誤差分為四個部分，第一部分是多極展開的誤差（記為E1），第二部分是M2L的誤差（記為E2），第三部分是L2L的誤差（記為E3），最後一部分是局部展開的誤差（記為E4）。其次，結合已給出的Graf加法公式的截斷誤差，對整體誤差的每一部分進行了估計，給出了和FMM算法所使用的樹結構形式密切相關的E1和E2的誤差上界及其對應的收斂階。 該項目不僅在Graf加法公式截斷誤差的估計上得到了非常好的結果，填補了這一領域的空白，此外，理論上對於FMM算法整體誤差進行了估計，使得算法在理論研究方面得到了補充和完善。