Finsler幾何中的度量與幾何流

《Finsler幾何中的度量與幾何流》是依託寧波大學，由李本伶擔任負責人的國家自然科學基金資助面上項目。

基本介紹

• 中文名：Finsler幾何中的度量與幾何流
• 依託單位：寧波大學
• 項目負責人：李本伶
• 項目類別：面上項目

項目簡介

在Finsler幾何中，度量的曲率性質和射影性質能夠揭示度量的幾何特性和拓撲性質。尋找更多新的具有特殊曲率及特殊射影性質的Finsler度量是有趣的問題。另一方面，不變幾何流作為聯繫可積系統與幾何的橋樑引導人們發現更多有好的性質的度量和有意義的可積系統。近年來，此問題受到數學物理、偏微分方程方程與幾何領域學者的廣泛關注。本項目將從Finsler度量的旗曲率、射影平坦性、Landsberg曲率和Berwald曲率等方面深入探討這些具有特殊幾何性質的度量的構造和分類。同時，本項目還將研究Finsler空間中的幾何流，特別是曲線及曲面的運動。研究一些特殊Finsler度量與可積系統之間的聯繫，進一步揭示這些可積系統的幾何性質及其套用背景。從而構造更多有套用背景的Finsler度量和可積系統。

結題摘要

本項目圍繞著Finsler 幾何中的度量和幾何流展開研究。在射影平坦具有常曲率的度量分類問題及其套用、Ricci 曲率的研究、數量旗曲率的研究、射影平坦Finsler度量的研究、對偶平坦度量的研究、與幾何不變流相關的方程問題以及Landsberg度量和Berwald度量的研究、中得到了一系列原創性成果。已發表的主要研究結果包括： （1）對Finsler度量的曲率性質的研究。首先，項目對射影平坦具有常數旗曲率的Finsler 度量進行分類刻畫，並給出分類結果的具體套用，解決了這一從上世紀20年代開始懸而未決的問題。其次，項目對具有弱迷向旗曲率的Finsler度量進行研究，得出如果流形的維數在3維及以上那么這樣的度量必定是Randers度量。再次，我們在Finsler 幾何中提出一類新的Ricci 曲率張量並進行研究，討論了它與其他幾何量的關係。 （2）對Finsler度量的射影性質的研究。首先，項目圍繞Hilbert第四問題的正則性情形，研究射影平坦的Finsler度量。我們引入一類新的Finsler度量，稱為廣義球對稱度量。首先研究了射影平坦廣義球對稱度量的分類問題，得到了等價方程，從而得到了不少新的射影平坦度量。還研究了射影平坦廣義-(alpha, beta)度量的構造，對其中的黎曼度量為射影平坦的情況下進行了分類。同時也構造了大量的新的射影平坦度量。此外，我們對與射影平坦度量密切相關的Douglas度量進行研究，並在廣義-(alpha, beta)度量中構造了大量的新的Douglas度量。 （3）我們在對對偶平坦度量的研究中發現其等價方程可以利用Hamel’s 方程來進行求解，故而對其進行了刻畫並給出了具體構造的方法，得到了一大批非平凡的對偶平坦度量。此外，此外，我們對新引進的廣義球對稱度量的對偶平坦情形也作了研究，得到了等價方程，並找到了特殊的對偶平坦度量。 （4）在與Finsler幾何相關的不變幾何流和方程方面，項目研究了（2+1）-維的Kaup–Kupershmidt (KK) 方程。並且證明此類方程事實上是一致Riccati展開（CRE）可解的。利用CRE 方法，給出了孤子和橢圓餘弦波之間新的關聯。此外，我們研究Landsberg度量，得到在某些情形下獨角獸問題仍無解。但是，如果允許度量有奇點，我們可以找到不少非 Berwald的Landsberg度量。