復Finsler空間的幾何函式論

《復Finsler空間的幾何函式論》是依託廈門大學，由鐘春平擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：復Finsler空間的幾何函式論
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：鐘春平
• 依託單位：廈門大學

項目摘要

首先，設M為複流形，F為M上的光滑的、強擬凸的復Finsler度量。本項目將研究復Finsler流形(M,F)的幾何函式論,特別是研究具有常全純曲率的弱Kaehler Finsler流形與Kaehler Finsler流形的幾何與拓撲性質。此外，也將研究Kaehler Finsler流形的各種子流形理論，包括它的復子流形、實子流形和Cauchy-Riemann子流形的幾何性質。.其次，設E為複流形M上的全純向量叢，E的纖維度量為光滑的、強擬凸的復Finsler度量F。 本項目將研究復Finsler全純向量叢(E,F)的理論，特別是研究復Finsler-Einstein流形及復Finsler-Einstein全純向量叢的幾何刻畫。此外，我們也將研究復Finsler幾何在復hyperbolic幾何中的套用,主要是尋找全純截面曲率為負的復Finsler度量的代數幾何刻畫。

結題摘要

芬斯勒幾何是已故著名數學家陳省身教授晚年倡導的研究課題。實芬斯勒幾何已獲得廣泛套用，它是物理、生物、力學、控制論中許多問題的模型。復芬斯勒度量由G. Rizza於1964年引入。1975年S. Kobayshi證明：一個緊複流形上的全純向量叢是負的充分必要條件是該向量叢容許一個凸的、具有負曲率的復芬斯勒結構。1981年，L. Lempert證明：在復歐幾里得空間中的有界且具光滑邊界的凸區域上，Carathéodory度量和Kobayashi度量相同，且是強擬凸的復芬斯勒度量。1994年，M. Abate和G. Patrizio出版了首本復芬斯勒幾何專著，並展示了復芬斯勒幾何在多復變幾何函式論中的深刻套用。 在本項目中，我們主要研究了以下內容：復芬斯勒聯絡的刻畫及弱的復Berwald度量；酉不變的復芬斯勒度量；凱勒芬斯勒度量和弱凱勒芬斯勒度量；強凸的弱凱勒芬斯勒度量的旗曲率與全純曲率的關係；強凸的凱勒芬斯勒度量的例子；T.Aikou意義下的復Einstein-Finsler向量叢的幾何性質。我們得到了復Rund聯絡、復Berwald聯絡、復Hashiguchi聯絡的刻畫，證明了復芬斯勒度量的共形變換是弱的復Berwald度量的充分必要條件是所給復芬斯勒度量為弱的復Berwald度量。證明了在復Minkowski度量作共形變換所得到的復Berwald度量中，不存在全純曲率為非零常數的復芬斯勒度量。我們首次引入了酉不變的復芬斯勒度量的概念，給出了它的刻畫，這類度量是可計算的，由此可得大量強凸的復芬斯勒度量的例子。證明了在酉不變的復芬斯勒度量中既不存在凱勒芬斯勒度量，也不存在復Berwald度量，但存在大量弱的復Berwald度量，我們給出了具有常數全純曲率的、弱的復Berwald度量的分類定理。通過引入一個埃米特張量，證明了弱的凱勒芬斯勒度量是凱勒芬斯勒度量的充分必要條件是該埃米特張量恆為零。作為套用，證明了在弱的復Berwald度量中，不存在弱的凱勒芬斯勒度量。我們給出了強凸的弱凱勒芬斯勒度量具有常旗曲率的充分必要條件，證明了強凸的弱凱勒芬斯勒度量如果具有常數旗曲率，則它必具有常數全純曲率。我們給出了強凸的凱勒芬斯勒度量的例子，並證明了T. Aikou意義下的復愛因斯坦芬斯勒向量叢是一個模復閔可夫斯空間。