《高階Camassa-Holm方程及相關問題研究》是依託江蘇大學，由丁丹平擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：高階Camassa-Holm方程及相關問題研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：丁丹平
- 依託單位：江蘇大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本課題的研究對象是與色散淺水波方程及測地線緊密相關的高階Camassa-Holm方程及相關問題。利用Bourgain技術研究該方程Cauchy問題在臨界和次臨界的局部適定性和整體適定性。用單調量及正則保持研究該方程Cauchy問題解的Blow-up現象。利用分叉等理論方法研究該方程的行波解以期獲得孤波解。通過數值技術和度量分析探究該方程Cauchy問題解的長時間動力學特徵及斑圖。希望通過本課題的研究能揭示高階Camassa-Holm方程與色散淺水波方程及側地線流之間更深刻的本質關係。注意到高階Camassa-Holm方程可視為擬線性方程在高階擬微分運算元作用的結果，表達了非局部的因素對模型的影響，由此啟示我們可以進一步考察這種非局部因素影響下的其它淺水波方程，如高階D-P方程，高階DGH方程等，豐富擬微分運算元的相關理論。
結題摘要
2003年，A.Constantin和B.Kolev研究了平面上單位圓周 上光滑保向微分同胚流形 ，利用Lie群和Riemaiann結構，導出了測地線流方程 ，由側地流方程得到高階Camassa-Holm方程，簡稱高階CH方程.從現有的研究中我們知道Bugers方程與CH方程有許多相似的性質，但是更重要的是它們的差異性，如哈密頓結構，尖峰解，blow-up等。對於 的高階CH方程與經典CH方程之間的共性與差異性恰是我們的興趣所在。與此同時，對於KdV方程，CH方程等，由於調和分析技術特別是Bourgain技術的發展，低正則性的適定性問題已獲得了重大的進展，非光滑解，解的長時間動力學行為的刻畫也有了新的突破，在此基礎上，高階CH方程的適定性，特別是臨界和次臨界適定性問題將成為偏微分方程研究中的又一個熱點之一。同時，行波解，Blow-up，解的幾何特性與分析性質，方程斑圖表述與刻畫 等方面的問題也將構成高階CH方程研究中的重要內容。本項目得到的重要結果有以下幾個方面：一、在一定的光滑條件下，高階Camassa-Jolm方程的Cauchy問題是適定的。在周期條件下，二階Canassa-Holm方程Cauchy問題的解釋Lipschitz連續的；二、二階Camassa-Holm方程Cauchy問題同樣存在Biow up解，且其blow up點集是測度有限的；三、給出了高階Camassa-Holm 方程行波方程和行波解，證明了行波解的某種意義的穩定性，揭示了孤波的奇性與仿微分運算元階數之間的聯繫；四、研究了孤立波方程解曲線的幾何性質演化，為斑圖研究提供了可行的途徑。
