某些方程的非線性波解及其分支

《某些方程的非線性波解及其分支》是依託華南理工大學，由劉正榮擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：某些方程的非線性波解及其分支
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：劉正榮
• 依託單位：華南理工大學

項目摘要

在前期研究工作中，我們主要對低次、低維以及無時滯方程的非線性波解進行研究，獲得了一些新的結果，總結出了一些經驗。本項目擬研究的內容是前期工作的延續和提升。我們打算繼續改進和發展動力系統定性理論和分支方法，並將它與變分法、譜方法以及散射方法等結合起來，套用到某些方程的非線性波解研究中。主要針對實際問題中提出的某些高階方程、高次方程、高維方程組以及含時滯的方程進行研究，擬研究這些方程的周期波解、概周期波解、爆破解、孤立波解以及扭波解的存在性，穩定性，分支以及在擾動下的持續性、混沌性等性質。對於某些高階方程、高維的方程組以及分數階偏微分方程，完全的理論分析可能行不通，因此我們也打算對它們進行數值探索，對其解的穩定性、持續性等性質進行數值模擬，也為實際套用提供一些理論或數值的依據。

結題摘要

本項目的研究成果由四部分組成，共發表30篇被SCI收錄的論文。第一部分成果是解決了四類方程的適定性問題。這部分由6篇論文組成，這一組論文主要是在Besov空間中研究廣義Camassa-Holm方程、Euler方程、Novikove方程以及Keller-Segel系統等解的存在性、唯一性、連續性以及大時間行為等，給出了一些判定方法以及參數範圍。第二部分成果是解決了兩類隨機擾動方程的吸引子和隨機行波存在問題。這部分由3篇論文組成，這一組論文研究了隨機KPP方程，隨機Camassa-Holm方程的吸引子的存在性以及行波解的存在性，給出了存在性條件，並揭示了在單隨機擾動和雙隨機擾動下行波的各種性質。目前這方面的研究工作比較少，我們的工作豐富了該領域的成果。第三部分是解決了兩類時滯方程的行波解存在問題，這部分由3篇論文組成，該組論文研究了帶時滯的Fisher方程以及帶時滯的傳染病模型的行波解和臨界波速等問題，擴展了前人的某些結果，為套用提供了理論依據。第四部分是解決了幾類方程的非線性波存在性以及分支等問題。這部分由18篇論文組成，該組論文針對幾類具有流體力學和電磁學等背景的偏微分方程進行研究，主要考慮了這些方程的周期波解、光滑孤立波解、孤立尖波解、緊孤子解以及扭波解等的存在性、解析表達式，還揭示了這些非線性波解之間的關係，發現了一些新的分支現象。這一組文章還推廣了前人的許多成果。