《b-族非線性淺水波方程尖峰子解的研究》是依託同濟大學，由周羚君擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：b-族非線性淺水波方程尖峰子解的研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：周羚君
- 依託單位：同濟大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
在孤立子與可積系統理論中，b-族非線性淺水波方程因容有尖峰子解，是近20年的研究熱點，其中Camassa-Holm方程和Degasperis-Procesi方程是最有代表性的兩個。相對於人們對Camassa-Holm方程全面且深罪寒刻的認識，人們對Degasperis-Procesi方程的研究還比較有限，特別是對混合尖峰-反尖峰子的研究，目前還有很多未解決的問題。由於Degasperis-Procesi方程的尖峰與反尖峰的碰撞會產生激波，因此對尖峰與反尖峰碰撞條件和結果的研究是重要的。反散射方法、Darboux變換和Painleve分析是解決這一問題的有力工具。本項目將研究Degasperis-Procesi方程及一般b-族方程尖峰-反尖峰子的動力學行為，力求得到DP方程尖峰-反尖峰子的顯式表達式。
結題摘要
b-族淺水波方程首先由Degasperis, Holm and Hone導出，其中包含了兩個重要的完全可積的方程——Camassa-Holm方程和Degasperis-Procesi方程。b-族淺水波方程容有一類特殊炒恥影凝的廣義解，被稱為尖峰埋戰習子。這種現象，線上性方程或者經典描述非線性淺水波的KdV方程中，都未曾發現。尖峰解與波的破裂密切相關，有重要的研究價值。 尖峰子是有蜜坑店限個特定指數函式的疊加，其動力學行為可以通過常微分方程組來研究。當不同尖峰的位置在某一時刻重合時，我們稱之為尖峰碰撞。尖峰的碰撞通常會引起多尖峰解的破裂。在本項目中，我們建立了一種研究尖峰碰撞的方法，利用這種方法我們研究了DP方程乃至b-族淺水波方程的尖峰子，得到尖峰只可能兩兩碰撞（即多尖峰碰撞不會發生），激波可能由尖峰碰撞產生。我們還得到，三次弦譜問題的特徵值分布，與初始尖峰的高度符號有關。特別，若初始狀態尖峰與反尖峰分居兩側，譜問題的特徵值都是實的並且單的。一般情況下，尖峰解的長時存在性與三次弦譜問題的特徵值性質有關。 將一個可積方程的Lax對推而廣之得到可積梯隊的方法，可以使我棕嫌充懂們得到更多的可積方程，並有可能用統一的方法贈斷幾研究整個梯隊中的所有方程。在本項目中，我們研究了一類負數階的Camassa-Holm型梯隊，證汽抹鞏明了這一梯隊導出的方程容有尖峰子解，並且尖峰解與Lax對相容。
