《Davey-Stewartson 型方程組的適定性和爆破性研究》是依託華南理工大學，由李用聲擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：Davey-Stewartson 型方程組的適定性和爆破性研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：李用聲
- 依託單位：華南理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
Davey-Stewartson 型方程組源於水波、電漿物理、非線性光學、以及海森堡鐵磁旋鏈理論等領域，有重要的物理和數學性質。本項目重點研究它的爆破解的動力學性質，特別是具有臨界質量的爆破解的爆破時間、爆破率、爆破解的質量集中現象、爆破解的精確結構特徵（exact profiles）。其次是結合偏微分方程的理論與調和分析方法，諸如Bourgain 空間方法、Fourier 限制方法、I-方法、高低頻分頻技術、多線性估計等，研究方程組在低正則性空間的局部和整體適定性，確定正則性臨界指標、非線性項臨界次數。對耗散系統，我們證明在低正則性相空間中整體吸引子的存在性和光滑性。
結題摘要
整個研究計畫基本上按照原計畫進行, 並達到預期目的. 主要成果如下： 我們深入研究了Davey-Stewartson 型方程組（DS）、非線性Schrodinger 方程（NLS）, 以及許多其他典型的色散方程（廣義Camassa-Holm型）、（磁）流體動力學方程組的適定性和不適定性, 部分問題獲得臨界正則性指標. 所使用的理論方法是變分方法, 調和分析等等, 完成一批較高質量的論文. 例如在J. Diff. Equations上發表的5篇（其中一篇剛被錄用）, 有單篇論文被ISI-Web of Science列為“高被引”論文（JDE, 253（1）2012, 兩年多來有20餘次SCI他引）, 博士畢業生吳奕飛2012 年全國百篇優秀博士學位論文獎提名獎. 我們總共發表論文22 篇（其中20篇SCI收錄, 1篇剛被JDE錄用待發表）. 一、關於Davey-Stewartson方程組（DS） 我們深入研究了二維和三維橢圓-橢圓方程組Davey-Stewartson方程組（DS）, 取得了重要進展. 我們得到了2D臨界DS的臨界質量爆破解的profile，3D次臨界DS的爆破解. 這兩個是令人欣慰的結果, 在學術會議上受到同行好評. 對一類三分量的橢圓—雙曲DS方程組, 我們得到弱解的存在性和衰減性. 我們還研究了兩類退化型DS方程組, 研究了方程組的守恆律、Varial恆等式, 證明了弱解的整體存在性, 解的爆破性和衰減性. 完成論文7篇. 二、幾類淺水波方程 我們還研究了幾類淺水波方程, 涉及的方程包括廣義Camassa-Holm方程, 高階淺水波方程, 兩個分量的Camassa-Holm方程, Novikov方程, 等等. 我們到了一系列適定性和不適定性的結果, 對部分問題獲得了適定性的臨界正則指標. 三、（磁）流體力學方程組 通過運用加權的Chemin-Lerner型空間、Littlewood-Paley理論及Besov範數的乘積估計, 仿積理論, 各向異性的Besov 空間性質和輸運方程的基本性質, 我們研究了2維與密度有關的不可壓縮Navier-Stokes 方程組, 經典不可壓MHD方程組、非齊次不可壓縮MHD方程組、Navier-Stokes-Landu-Lifshitz方程, 獲得了一系列關於適定性和漸近性的結果.
