非線性內波的解析研究和符號計算

《非線性內波的解析研究和符號計算》是依託大連理工大學,由王振擔任醒目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：非線性內波的解析研究和符號計算
• 依託單位：大連理工大學
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：王振

項目摘要

針對強非線性內波對海洋工程造成的巨大危害，本項目將建立高階內波演化方程描述更豐富的內波行為，並給出其對應的線性逆散射方程，利用符號運算的推導能力和同倫分析等半解析方法，求解該線性逆散射方程，從而解析的了解內孤立波的產生機理、傳播和耗散規律，解析的揭示內孤立波的反射、透射和散射現象的本質，分析內孤立波流場及其對結構物的作用；研究多個內孤立波的相互作用和長時間發展，並分析多孤立波相互作用的流場結構變化。將解析計算和數值模擬相結合研究變化水底條件對孤立內波發生機理和傳播規律的影響，分析各個因素對內孤立波傳播方式的改變程度。解析解包含了內波活動的許多物理特徵，藉助它們有助於了解內波活動的規律。對複雜非線性內孤立波和周期波等水波理論的傳播、反射、透射、散射及其相互作用等基礎研究工作具有重要的理論意義，對研究內孤立波和海洋結構物及其部件的相互作用也有重要的實際意義。

結題摘要

通過非線性內波的解析和符號計算項目的研究，綜合採用理論分析和符號計算相結合的優勢，研究了內波的非線性模型的建立和解析求解方法。通過解析表達式和圖形分析，可以容易的發現代數幾何解的非線性作用特徵和線性波的相互作用和疊加具有完全不同的作用的方式。非線性行為和相互作用具有更為複雜的現象，在不同參數下，非線性波具有完全不同的行為和特徵。具體分析了描述臨界狀態的Camassa-Holm方程，通過結合雙線性方法和坐標變換，給出了Camassa-Holm方程的顯式解析解。分析了擬周期解在參數變化下退化為孤立波解的過程,分析非線性相互作用的過程和特徵。 總結了非線性發展方程的解析求解方法， 給出某些非線性波方程的非線性相互作用的解析特解，分析了其非線性相互作用，出版了英文專著一本。 發展了非線性方程求解方法的漸進解析方法，包括同倫分析方法和微分變換方法。在同倫分析方法方面做了進一步的探索，改進了初始猜測，提出了指數同倫，求解了變係數Burgers方程。給出了同倫分析解的收斂性證明，通過考慮一個抽象的非線性微分方程的初值問題，將其轉化為相應的一般抽象積分方程，按照標準的同倫分析方法進行求解，得到了含有收斂參數的微分積分方程，藉助於柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理的啟發，構造合適的優函式， 給出優函式所滿足的方程， 並分析其解的有效區域，並由優函式性質知道同倫分析方法的收斂範圍。證明了同倫分析收斂性，確定最優參數公式。 使用微分變換法求解了不連續的衝擊波問題和微分差分方程問題。將微分變換法成功推廣到非線性微分差分方程的求解方面，微分差分方程可以看作是對連續方程的離散化，也可以看作是晶格系統。對微分差分方程的解析求解可以有效地檢驗方程離散格式的優劣。對數值計算方法的選擇和離散格式的選擇具有指導性意義。 在剛蓋假定下，在分層流體界面處會由擾動源的作用而產生內部波動，通過複變函數方法將物理問題進行了數學描述，並採用牛頓疊代法數值求解了二維內部波動的波形和運動規律。針對密度連續變化三維流體的內部波動問題不再滿足勢流理論，提出了使用流體總壓力代替勢流理論中的勢函式的方法，並結合Laplace變換對密度連續變化問題進行線性化解析求解，給出了密度連續變化的晃蕩問題線性解析，發現其具有更豐富的自然頻率，但是其更高頻的自然頻率的影響較小。