非交換環面

定義

設θ∈ℝ，λ=e。非交換環面𝕋_θ為由酉元U與V生成的泛含單位元 C*代數，其中U與V滿足下列關係：

VU=λUV

等價定義為

考慮C*動力系統(C(S),α_θ,ℤ)，ℤ通過旋轉2πθ作用在S=ℝ/ℤ上，故對偶地作用在C(S)上，定義H=L(S)上的共變表示，其中π(f)為乘法運算元，ρ(n)為酉運算元

(ρ(n)f)(x)=f(x+nθ)

則C(S)⋊_αℤ=𝕋_θ，其中(e,1)對應U,V

設A為由酉元u與v生成的泛C*代數，並滿足vu=λuv。則定義A與𝕋_θ的同構，滿足u↦U，v↦V。

若θ∈ℝ\ℚ為無理數，則非交換環面為單C*代數，即真閉雙邊理想，無有限維表示。

設酉運算元U,V:L(S)→L(S)定義為

(Uf)(x)=ef(x)，

(Vf)(x)=f(x+θ)。

其中S為ℝ/ℤ，擁有歸一化哈爾測度。設𝕋_θ為由U與V生成的含單位元C*子代數

。

設𝒜_θ為非交換環面的光滑函式代數，𝒜_θ為𝕋_θ的稠子代數。

設𝓞(𝕋_θ):=ℂ<U,V>/(VU-λUV)為由酉元U與V生成的含單位*代數，關係VU=λUV。則𝓞(𝕋_θ)為非交換環面的坐標環，為由U與V生成的𝕋_θ的稠子代數。

𝕋_θ的生成元u與v可組成一對共軛變數，定義作用在𝕋_θ上的時間反演算符Θ=iσ₂*，其中*為𝕋_θ的對合。

則可定義Θ的不動點代數(𝕋_θ)如下生成

x=eiuv*，y=eivu*。

(𝕋_θ)=<x=eiuv*|xx*=x*x=1>≅ℂx。

(𝕋_θ)的實K理論為

KO_i[(𝕋_θ)]≅KO(ℝ)=KO(pt)

特別地，有KO₀[(𝕋_θ)]=ℤ₂，KO₁[(𝕋_θ)]=ℤ₂。

設𝓕為復可分希爾伯特空間𝓗上的弗雷德霍姆運算元的空間，則有行列式叢Det→𝓕。

設自伴哈密頓量H由非交換環面參數化，即H(a)為哈密頓族，其中a∈𝕋_θ。故有反伴弗雷德霍姆運算元

D(a)=(0ΘH(a)Θ*)

(H(a) 0)

則非交換環面上的行列式線叢為拉回叢𝓛:=D*Det。

考慮作用在實希爾伯特空間𝓕_ℝ:=𝓕(𝓗_ℝ)，則有普法夫線叢Pf→𝓕_ℝ。

對實元r∈(𝕋_θ)≅ℝx。則不動點代數上的普法夫線叢定義為𝓛:=H*Pf。

𝓛⨂𝓛≅𝓛|_(𝕋2θ)Θ。

則整體截面ρ定義為

ρ:{x,y}→(ℤ₂,×)={1,-1}