《量子環面上的函式空間》是依託武漢大學，由尹智擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：量子環面上的函式空間
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：尹智
- 依託單位：武漢大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
量子環面是運算元代數和非交換幾何中的一個基本的研究對象。因為量子環面是經典環面的某種形變。因此可以期待經典環面上的許多結果可以推廣到量子環面上來。A.Connes 和他的合作者們從幾何的角度上研究了該問題。但是從分析的角度來研究量子環面的工作卻極少。本項目旨在發展量子環面上的函式空間理論， 包括 Sobolev，Besov 和 Triebel 空間。此外，我們還計畫將這些理論套用於量子環面上的變分問題。
結題摘要
量子環面是非交換幾何中研究的一個基本對象。本項目的系統地研究了d維量子環面上的Sobolev, Besove 以及Triebel-Lizorkin 空間。這些空間在經典情形下都有著相應的對照。我們證明了這些函式空間的一些基本性質，包括這些空間的指標提升定理以及特別地對Sobolev 空間我們得到了Poincare型不等式。我們建立這些函式空間上的嵌入不等式，包括Besov 和Sobolev 嵌入定理。我們既得到了一般形式的Besov和Triebel-Lizorkin 空間的Littlewood-Paley型刻畫，又同時得到利用Poison 半群、熱半群以及差分形式的具體。這些結果在經典（交換）的情形下也是新的。利用Besov空間的差分刻畫，我們能夠將最近Bourgain-Brezis-Mironescu 以及 Mazya-Shaposhnikova 等人關於Besov 範數極限的工作推廣到非交換的情形。我們研究了這些函式空間的內插問題，特別地我們顯式的得到了Lp空間和Sovolev空間的K-泛函，這推廣了Johnen 和 Scherer 經典的結果。最後，我們證明了這些函式空間上的完全有界傅立葉乘子不依賴於矩陣θ, 其中θ =0意味著我們能回到經典環面。這個結果說明量子環面函式空間的完全有界乘子等價於經典環面上的完全有界乘子。此外，我們還給出了Besov 空間上（完全）有界傅立葉乘子的一個簡單刻畫。 本項目是第一份系統地研究量子環面上分析的工作，主要結果將發表在Memoirs Amer. Math. Soc. 值得一提的是我們的研究不僅僅是簡單地將經典的情況推廣到非交換的情況，而是發展出一整套非交換框架下的傅立葉乘子的理論。這些結果為我們將來研究一般非交換半群上的分析提供了研究基礎。此外，我們關於Besov空間的結果也會對非交換幾何的發展有著潛在的影響。
