求和項是超幾何項的級數稱為超幾何級數。超幾何級數亦稱高斯級數，是超幾何方程在單位圓內的第一解。
基本介紹
- 中文名：超幾何級數
- 外文名：hypergeometric series
- 適用範圍：數理科學
- 定義：超幾何方程在單位圓內的第一解
定義,超幾何項,雙超幾何項,正則超幾何項,
定義
超幾何級數亦稱高斯級數，是超幾何方程在單位圓內的第一解。
求和項是超幾何項的級數稱為超幾何級數，常用如下記號表示
超幾何項
【hypergeometric term】
超幾何項
定義在自然數上的函式f(n)被稱為超幾何項，如果f(n+1)/f(n)是關於n的有理函式，即存在多項式p(n)和q(n)使得
可以表示為有限個超幾何項的線性組合的函式被稱為閉形式（closed form）。
雙超幾何項
如果
都是關於n和k的有理函式，F(n，k)稱為雙超幾何項（hypergeometric term in both arguments）。
正則超幾何項
組合恆等式機器證明的主要研究對象是一類特殊的雙超幾何項，被稱為正則超幾何項（proper bypergeometric term ），它是如下形式的二元函式
，其中x是不定元，且：
（1）P(n，k)是關於n，k的多項式；
（2）a𝘴，b𝘴，u𝘴，v𝘴都是整數；
（3）c𝘴，w𝘴是可以含其他未定參數的常數；
（4）l和m是非負整數。
若
中沒有負整數，則具有如上形式的F在點(n，k)是有定義的。若F在(n，k)點有定義，且P(n，k)=0，或至少有一個
是負整數，則認為F(n，k)=0。
例如，
是正則超幾何項，因為它可以寫成
滿足定義。又如，雖然F(n,k)=1/(n+3k+1)看起來不是正則超幾何項的形式，但是它可以寫成如下形式:
所以它也是正則超幾何項。可以證明F(n,k)=1/(n+k+1)不是正則超幾何項。
