關於overtpartition的組合定理及恆等式

《關於overtpartition的組合定理及恆等式》是依託天津大學，由施亞輝擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：關於overtpartition的組合定理及恆等式
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：施亞輝
• 依託單位：天津大學

項目摘要

基本超幾何級數(q-級數)理論經過兩百年的發展，現在已經廣泛地套用到了數論、微分方程、組合數學、統計和物理等學科分支。近一個世紀伴隨著組合數學的發展，q-級數和組合數學之間的聯繫越來越密切。分拆理論這一門古老的學科也因為大大的推動了q-級數理論的發展而又重新回到人們的視野。本項目中我們將主要圍繞分拆理論中幾個經典對象：Rogers-Ramanujan-Gordo類型的分拆定理及等式，overpartition，及lecture hall分拆和anti-lecture hall有序分拆來著重展開，給出更多的關於overpartition的.Rogers-Ramanujan-Gordon類型的定理及Andrews-Gordon類型的等式，我們還將針對幾個組合對象在計數方面的相互關係進行深入研究，從而給出一定的組合對應，相應的引出相關的q-級數等式。

結題摘要

q-級數理論和分拆理論的研究始於兩百多年前著名數學家Euler的工作，之後印度天才數學家Ramanujan，美國著名數學家Andrews 的工作使得分拆理論 這一有著非常悠久的歷史的古老學科不斷得到新的發展。而帶槓分拆（overpartition）作為對一般整數分拆的重要補充在q-級數和組合數學中扮演著重要的角色，同時也在數學物理、對稱函式，以及表示論中發揮了重要作用，用overpartition 可以解釋很多基本超幾何級數，並且利用帶槓分拆的概念可以很自然地證明很多q- 級數理論中的等式。分拆理論中的很多重要定理都可以在帶槓分拆中找到類似的模擬。Rogers—Ramnujan等式是q-級數理論中最著名的等式之一，並且該等式在分拆理論中有完美的組合解釋。本項目主要基於項目負責人之前的工作，圍繞帶槓分拆上的Rogers-Ramanujan定理展開。我們給出了Bressoud的Rogers-Ramanujan-Gordon類型定理在帶槓分拆上的模擬，並且利用我們定義的帶槓分拆上的Gordon標號法的工具，給出了相應的Andrews—Gordon等式形式的生成函式。基於之前K. Alladi教授的分拆理論中的一系列賦權的方法將原本計數值不同的兩個類型分拆建立等式關係的理論，我們將這一理論延伸到overpartition上，將RRG類型的分拆和不加限制的帶槓分拆之間建立了等式關係。我們還研究了RRG類型的帶槓分拆滿足的同餘式關係。Andrews 2010年在論文《Parity in partition identities》中考慮了一系列在RRG類型的分拆中限制相同奇數或者相同偶數部分出現次數為偶的問題，在他的論文最後提出了希望將相關結果模擬到帶槓分拆上的問題始終未被解決，我們考慮了在RRG類型的帶槓分拆上限制相同奇數或者相同偶數部分出現次數為偶的問題，定義了兩類新的RRG類型的帶槓分拆，並且對應於參數的不同奇偶的情況，給出了一系列結果。該項目中我們圍繞著RRG類型的帶槓分拆，進行了系統深入的研究，很好的完成了項目預定的計畫。