《調和映照理論中的若干問題》是依託浙江師範大學，由朱相榮擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：調和映照理論中的若干問題
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：朱相榮
- 依託單位：浙江師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目中我們主要研究調和映照理論中的幾個重要問題：.1.考慮兩個流形之間一列能量有界的映照，我們將研究在什麼樣的撓率張量條件下相應的能量恆等式成立，以及產生的調和球面和極限映照的像是連通的。.2.在高維調和熱流的正則性問題中，擬調和球面起著關鍵作用。我們將研究擬調和球面存在性和調和球面存在性之間的關係，還將研究擬調和球面在無窮遠處的收斂性質。.3.我們還打算研究高維穩定調和映照的奇點集維數及性質問題。.在上述問題的研究中，調和分析技術或者說精細的分析技術有大量套用。此外我們還計畫研究一些相關的分析問題，例如流形上的特徵值估計等。
結題摘要
這個項目我們主要研究調和映照和現代調和分析中的一些其它問題。在這個項目資助下，共發表SCI論文6篇，中文核心一篇，另外還有若干論文正在投稿中。 調和映照課題是這個項目的主要部分，在這個課題主要取得了以下結果。 關於兩維逼近調和映照序列，對於一般的目標流形，如果撓率張量在$L^(\frac 65)$中一致有界，我們證明了這列映照的能量恆等式和像的連通性都成立，這個結果推廣了一系列已知結果。如果該序列映照的撓率張量在Zygmund類中一致有界，則相應的爆破分析理論成立，在更弱的條件下這個理論一般不成立。 當目標流形為標準球面時，對於兩維逼近調和映照序列，當撓率張量在Zygmund類中一致有界，我們在11年證明了能量恆等式成立，同時構造了例子說明在這條件下像的連通性質可能不成立。現在我們在稍強一點的條件下證明了像的連通性也成立，這樣當目標流形為標準球面時，這類問題基本得到了解決。 當目標流形為標準球面時，對於Sacks-Uhlenbeck序列，我們在今年證明了能量恆等式成立，這個結果可以套用於Perelman對Poincare猜想的證明。同時，我們證明這種情形下像的連通性也成立。而對於一般目標流形，這兩個結論都可能是錯誤的。這個工作正在投稿中。 關於Hardy運算元,Hausdorff運算元，沿變數曲線的Hilbert變換以及沿曲線超奇性振盪Hilbert變換，我們得到了一系列有趣的結果，這些工作部分已發表，部分正在投稿中。 對於有界光滑區域上的Jacobi方程，我們證明了在臨界Besov空間中解是存在的，這方面工作目前正在投稿中。 最後我們還研究了麼模乘子在模空間上的有界性並得到了幾個很有意思的結果，這方面工作正在整理中。
