誘導拓撲

誘導拓撲

拓撲是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的一個學科。它只考慮物體間的位置關係而不考慮它們的形狀和大小。

拓撲英文名是Topology,直譯是地誌學,最早指研究地形、地貌相類似的有關學科。幾何拓撲學是十九世紀形成的一門數學分支,它屬於幾何學的範疇。有關拓撲學的一些內容早在十八世紀就出現了。那時候發現的一些孤立的問題,在後來的拓撲學的形成中占著重要的地位。

誘導拓撲(induced topology)是指構造拓撲的一種方法。設f.是集合X到拓撲空間(Y , U)的映射。在X上的所有使得f連續的拓撲中,最粗的拓撲T稱為由(Y,U)及f確定的誘導拓撲。

基本介紹

  • 中文名:誘導拓撲
  • 外文名:induced topology
  • 領域:數學
  • 作用:構造拓撲
  • 特徵:最粗的拓撲
  • 相關術語:商拓撲
拓撲性質,誘導拓撲定義,拓撲空間的性質,

拓撲性質

設X是一個非空集合,X的冪的子集(即是X的某些子集組成的集族)T稱為X的一個拓撲。若且唯若:
1.X和空集{}都屬於T;
2.T中任意多個成員的並集仍在T中;
3.T中有限多個成員的交集仍在T中。
稱集合X連同它的拓撲τ為一個拓撲空間,記作(X,T)。
稱T中的成員為這個拓撲空間的開集
定義中的三個條件稱為拓撲公理。(條件(3)可以等價的換為τ中兩個成員的交集仍在τ中。)
從定義上看,給出某集合的一個拓撲就是規定它的哪些子集是開集。這些規定不是任意的,必須滿足三條拓撲公理。
一般說來,一個集合上可以規定許多不相同的拓撲,因此說到一個拓撲空間時,要同時指明集合及所規定的拓撲。在不引起誤解的情況下,也常用集合來代指一個拓撲空間,如拓撲空間X,拓撲空間Y等。
同時,在拓撲範疇中,我們討論連續映射。定義為:f: (X,T1) ------> (Y,T2) (T1,T2是上述定義的拓撲)是連續的若且唯若開集的原像是開集。兩個拓撲空間同胚若且唯若存在一一對應的互逆的連續映射。同時,映射同倫和空間同倫等價也是很有用的定義。

誘導拓撲定義

誘導拓撲(induced topology)是指構造拓撲的一種方法。設f.是集合X到拓撲空間(Y , U)的映射。在X上的所有使得f連續的拓撲中,最粗的拓撲T稱為由(Y,U)及f確定的誘導拓撲。實際上,
反之,若f是拓撲空間(X,T)到集合Y上的映射。在Y上的所有使得f連續的拓撲中,最細的拓撲U稱為由(X,T)及f確定的誘導拓撲。也稱為由f與X上的拓撲確定的Y的商拓撲。實際上,

拓撲空間的性質

性質1集合X的離散拓撲T是X的最大拓撲,即對X的每一個拓撲T1,均有。
證明由拓撲T1的定義可得: 對A∈T1,有A∈ P(x)。此外,T是X的離散拓撲意味著T =P(x) ,因此,A∈T,從而由A的任意性可知。
性質2離散拓撲空間(X,T) 中:
①點x的鄰域系是Ux= AX | x∈ A},即凡是X的包含x的子集都是x的鄰域。
② X的每一個子集既開又閉。
證明對任意的x∈X,有{x}∈P(x)= T,故{x} 是開集。另外,對任意的x ∈ A
X,有x∈{x}A,從而由鄰域的定義可知A是X的鄰域。
設A是X中的任一子集,那么有A∈P(x)=T,即A是開集。另一方面,由X ~ AX可得Ac∈P(x)= T, 故A是閉集。
註: 一般拓撲空間的子集也可能是既不開也不閉的。
性質3離散拓撲空間(X,T) 中,若AX,則A的導集A' = ,即A中不含有任何一個聚點。
證明 對任意的x∈X,存在x的一個開鄰域{x} ,使得{x}∩(A -{x} )=
,從而x不是A的聚點,因此,由x的任意性可得:集合A中不含有任何一個聚點,即A' =

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