積一致結構(product uniformity)是積空間上的一致結構。
拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。
積空間是一類重要的拓撲空間。一致結構是集合上的一種結構。
基本介紹
- 中文名：積一致結構
- 外文名：product uniformity
- 領域：數學
- 定義：積空間上的一致結構
- 積空間：一類重要的拓撲空間
- 一致結構：集合上的一種結構
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概念
稱為{(Xα，Uα)}α∈Λ的積一致空間。積一致結構Uα誘導的拓撲恰好是每個Uα(α∈Λ)誘導的拓撲的積拓撲。一致空間的子空間和積一致空間的有關結果是韋伊(Weil，A.)於1938年給出的。
拓撲空間
拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家里斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。
此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。
積空間
積空間是一類重要的拓撲空間。若{(Xα，Tα)|α∈D}為一族拓撲空間，
為{Xα}α∈D的笛卡兒乘積，pα：X→Xα為X到坐標空間Xα的投影，則以
S={pα(Uα)|α∈D，Uα∈Tα}
為子基生成的拓撲T稱為X上的積拓撲，(X，T)稱為{(Xα，Tα)|α∈D}的積空間。S的元素的所有有限交構成的集族B是積拓撲的基。弗雷歇(Fréchet，M.-R.)於1910年首先討論抽象空間的積空間。任意多個拓撲空間的積空間是由吉洪諾夫(Тихонов，А.Н.)於1930年定義的。在笛卡兒乘積上引入積拓撲是從已知拓撲空間構成新拓撲空間的重要方法。吉洪諾夫的論文不僅定義了積空間，也提出了一些重要性質。他的結果使積空間成為現代一般拓撲的典型工具之一。不僅在可度量化和緊化問題上給出了完美的結果，而且對函式空間的拓撲結構也給出了深刻的刻畫。
一致結構
一致結構是集合上的一種結構。設X為集合，U為X×X的非空子集族。若U滿足下列條件，則稱U是X上的一致結構：
1.U的每一個元包含對角線Δ。
2.若U∈U，則U∈U，其中
U={(x，y)|(y，x)∈U}
3.若U∈U，則存在V∈U使得V°VU，其中
4.若U，V∈U，則U∩V∈U。
5.若U∈U並且UVX×X，則V∈U。
具有一致結構U的集合X稱為一致空間，記為(X，U)。一致空間的概念是韋伊(Weil，A.)於1938年引入的.布爾巴基(Bourbaki，N.)於1940年首先給予系統的論述。圖基(Tukey，J.W.)於1940年用覆蓋族定義並研究了一致空間的等價的概念。艾斯貝爾(Isbell，J.R.)於1964年出版的書中，包含了用覆蓋敘述的一致空間理論的重要發展。一致空間也可用偽度量族來描述，它是由布爾巴基於1948年給出的。
一致空間
一致空間的概念是韋伊(Weil，A.)於1938年引入的。布爾巴基(Bourbaki，N.)於1940年首先給予系統的論述。圖基(Tukey，J.W.)於1940年用覆蓋族定義並研究了一致空間的等價的概念。一致空間有三個等價定義，分別是周圍定義、偽度量定義和一致覆蓋定義。
