粘性解

粘性解

數學中,粘性解是20世紀80年代早期由Pierre-Louis Lions和Michael Crandall作為對偏微分方程(PDE)經典解的擴展而引入的。粘性解在PDE的許多套用中作為解是非常自然的,例如最佳化控制中的一階偏微分方程(Hamilton-Jacobi-Bellman equation),differential game中(Isaacs equation),前端演化問題(front evolution problem)[1],還有二階方程,例如在隨機最佳化控制或隨機微分博弈(stochastic differential game)中出現的。

基本介紹

  • 中文名:粘性解
  • 外文名:Viscous solution
  • 學科:數學
  • 提出者:Pierre-Louis Lions
概念,定義,

概念

數學中,粘性解是20世紀80年代早期由Pierre-Louis Lions和Michael Crandall作為對偏微分方程(PDE)經典解的擴展而引入的。粘性解在PDE的許多套用中作為解是非常自然的,例如最佳化控制中的一階偏微分方程(Hamilton-Jacobi-Bellman equation),differential game中(Isaacs equation),前端演化問題(front evolution problem)[1],還有二階方程,例如在隨機最佳化控制或隨機微分博弈(stochastic differential game)中出現的。
經典的概念是在域
中PDE
有解,如果我們能找到在整個域上連續且可微的函式u(x),使得x, uDuu的微分)在每個點都滿足上面的等式。

定義

在粘性解的意義下,u不需要在每個點都可微。可能在有些點上
不存在,即u中存在扭結(kink)但u在適當意義下滿足等式。雖然在某個點上
可能不存在,但可以使用下面定義的上微分(superdifferential)
和下微分(subdifferential)
代替。
定義1:
定義2:
一般地,集合
中的每個p是u在x0"斜率"(slope)的一個上界集合
中每個p是u在x0"斜率"(slope)的一個下界。
定義3:連續函式u是上面PDE的一個粘性上解(viscosity supersolution),如果滿足
定義4:連續函式u是上面PDE的一個粘性下解,如果滿足
定義5:連續函式u是PDE的一個粘性解如果它既是粘性上解又是粘性下解。

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