嵌段共聚物平均場框架中的數學問題

《嵌段共聚物平均場框架中的數學問題》是依託北京航空航天大學，由阮元龍擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：嵌段共聚物平均場框架中的數學問題
• 依託單位：北京航空航天大學
• 項目負責人：阮元龍
• 項目類別：青年科學基金項目

項目摘要

我們在自洽平均場理論的框架下，分析嵌段共聚物建模相關的數學問題。嵌段共聚物自由能的初始模型十分複雜，我們運用Landau-Brazovsky模型來近似原本的模型，將原問題進行了簡化和近似，通過分析近似模型相關的數學問題來深入了解嵌段共聚物的性質。這一近似模型以二階變分的形式出現，一階導數項係數與最高階導數項符號相反，並帶有非線性位勢函式，多個控制參數以及外部約束條件。 能量泛函的積分區間為整個實數空間，這使得許多緊性定理不再成立，加之函式的周期也是一個變數，這給尋求臨界點帶來了困難，另外泛函臨界點對於控制參數的依賴關係也十分複雜，這裡面有許多數學問題在文獻中尚未被深入討論過，因此需要深入細緻地討論和研究。在對模型有更多理解之後，我們還將考慮如何設計出較好的模擬算法。

結題摘要

嵌段共聚物是材料科學與工程中的重要物質，因其在不同的外界條件下呈現出不同的結晶狀態，這種物質可以在適當的條件下進行自組裝，形成具有不同特性的材料。正是由於這種自組裝能力使得聚合物成為材料科學中的主流研究對象。為了研究聚合物的不同臨界狀態，我們在平均場框架下對Landau-Brazovsky模型進行研究，在數學上，這是一個變分問題，我們運用變分技巧來尋求臨界點，並分析臨界點的數學性質。這其中與極小臨街序列的緊緻性密切相關的數學概念是擬凸性，然而擬凸性本身十分複雜，因此我們對能量泛函進行鬆弛然後考慮其rank-one凸性。我們的一個重要貢獻就是通過偏微分方程對rank-one凸性進行刻畫，在粘性解的意義下，泛函或是函式的rank-one凸性包絡就是一個偏微分方程的粘性解。於此同時我們利用這一刻畫研究了rank-one凸性包絡的計算方法，給出了數值算法，並證明了其收斂性。另一方面我們也將此理論與運用到新材料的設計問題中，並證明了，在給定支撐集合的條件下，泛函或是函式的rank-one凸性包絡的水平集可以由支撐集合進行rank-one逼近。