基本介紹
背景,狀態空間,系統的狀態空間表示法,狀態空間表達式,科學解析,方程式,簡介,數學基礎,優點,
背景
現代控制面臨著大而複雜的多輸入多輸出系統.分析這種複雜系統，必須採用一種分析和設計這種系統的新方法，即現代控制原理。這種方法要求給定系統採用簡便的數學描述，從而減輕數字計算機的負擔.眾所周知，狀態空間表示法正是系統的一種簡便的數學描述和特別適合於數字計算的時間範疇表示法.因此，狀態空間表示法是現代控制原理中首先要研究的一個問題。
狀態空間
狀態空間是控制工程中的一個名詞。狀態是指在系統中決定系統狀態的最小數目的變數的有序集合[1]。而所謂狀態空間則是指該系統的全部可能狀態的集合。簡單來說，狀態空間可以視為一個以狀態變數為坐標軸的空間，因此系統的狀態可以表示為此空間中的一個向量。
系統的狀態空間表示法
一個實際的物理系統通常以微分運算元方程
P(D)Z(t)=Q(D)u( t)
Y(t)=R(D)Z(t)+H(D)u(t) (1)
來描述。在一般控制原理中基於系統(2-1)的傳遞函式
W(D)=R(D)P(D)Q(D)+H(D) (2)
藉助於各種圖解法，比如根軌圖或乃氏圖等來實現控制系統的分析與設計。考慮到系統的相互耦合其傳遞函式相當複雜，有時為了簡單，在定性分析中略去相互耦合，實現系統的近似分析。然而，現代控制理論是基於系統(1)的等效狀態空間表示
X=AX+ Bu
Y=CX+Eu (3)
藉助於數字計算機來實現系統的分析與設計，從而避免了一般控制理論中的弊病，實現了系統分析與設計的數值計算程式化。
相應於系統(3)的傳遞函式為
W(D)=C(DI-A)B+E (4)
在研究中，通常假設E=0，這樣並不影響所研究的問題的實質.那末
W(D)=C(DI-A)B (5)
注意上面式子中，
為微分運算元，P(D),R(D),Q(D)和H(D)是關於D的適當階
次的多項式陣，Z(t)為系統的ml維部分狀態，x(t)為n維狀態矢量，y(t)為P維輸出矢
量，u(t)為q維輸入矢量,(5)式還可表示成
下面扼要介紹三種狀態空間表示法
狀態空間表達式
科學解析
在經典控制理論中，對一個線性定常系統，可用常微分方程或傳遞函式加以描述，可將某個單變數作為輸出，直接和輸入聯繫起來。實際上系統除了輸出量這個變數之外，還包含有其它相互獨立的變數，而微分方程或傳遞函式對這些內容的中間變數是不便描述的，因而不能包含系統的所有信息。顯然，從能否完全揭示系統的全部運動狀態來說，用微分方程或傳遞函式來描述一個線性定常系統有其不足之處。
在用狀態空間法分析系統時，系統的動態特性是用由狀態變數構成的一階微分方程組來描述的。它能反映系統的全部獨立變數的變化，從而能同時確定系統的全部內部運動狀態，而且還可以方便地處理初始條件。這樣，在設計控制系統時，不再只局限於輸入量、輸出量、誤差量，為提高系統性能提供了有力的工具。加之可利用計算機進行分析設計及實時控制，因而可以套用於非線性系統、時變系統、多輸入—多輸出系統以及隨機過程等。
方程式
狀態方程和輸出方程總和起來，構成一個系統完整的動態描述稱為系統的狀態空間表達式。
在經典控制理論中，用指定某個輸出量的高階微分方程來描述系統的動態過程。
同一系統中，狀態變數選取的不同，狀態方程也不同。
從理論上說，並不要求狀態變數在物理上一定是可以測量的量，但在工程實踐上，仍以選取那些容易測量的量作為狀態變數為宜，因為在最優控制中，往往需要將狀態變數作為反饋量。
設單輸入—單輸出定常系統，其狀態變數為
，
，…，
，用矢量矩陣表示時的狀態空間表達式則為：
對於多輸入—多輸出系統狀態空間表達式的矢量矩陣形式為：
簡介
狀態空間表示（state-space techniques ）是現代控制理論中建立在狀態變數描述基礎上的對控制系統分析和綜合的方法。狀態變數是能完全描述系統運動的一組變數。如果系統的外輸入為已知，那么由這組變數的現時值就能完全確定系統在未來各時刻的運動狀態。通過狀態變數描述能建立系統內部狀態變數與外部輸入變數和輸出變數之間的關係。反映狀態變數與輸入變數間因果關係的數學描述稱為狀態方程，而輸出變數與狀態變數和輸入變數間的變換關係則由量測方程來描述。狀態與狀態變數描述的概念早就存在於經典動力學和其他一些領域，但將它系統地套用於控制系統的研究，則是從1960年R.E.卡爾曼發表《控制系統的一般理論》的論文開始的。狀態空間法的引入促成了現代控制理論的建立。
數學基礎
狀態空間表示的主要數學基礎是線性代數。在狀態空間法中，廣泛用向量來表示系統的各種變數組，其中包括狀態向量、輸入向量和輸出向量。變數的個數規定為相應向量的維數。用x表示系統的狀態向量,用u和y分別表示系統的輸入向量和輸出向量，則系統的狀態方程和量測方程可表示為如下的一般形式：
