隨機點過程是描述按一定統計規律在空間X中隨機地分布的一些點的數學模型。
基本介紹
- 中文名：隨機點過程
- 外文名：stochastic point process or ran-dom point process
隨機點過程(stochastic point process or ran-dom point process)簡稱點過程。一類數學模型。它是描述按一定統計規律在空間X中隨機地分布的一些點的數學模型。粗略地說，隨機點過程就是隨機的點分布。現實生活中存在著許多這樣的隨機現象，其中人們所關心的隨機事件具有高度局部化的特點，亦即事件的發生可以認為只限於在時間或空間(統稱為狀態空間並記為X)中的一個很小的範圍內，因此在數學上可以用一個理想化的點來表示。
最常見的情形是狀態空間X取為實數直線R=(-∞，+∞)或它的非負部分R+=(0，+∞)。因為實數有大小先後的次序，故這樣的點過程又稱為(隨機)事件序列或事件流。
在數學上也可以把隨機點過程定義為一類特殊的隨機測度——隨機計數測度(簡稱計數測度)。如同在“隨機測度”條中所述，設X是滿足第二可數公理的局部緊德國數學家豪斯多夫(Hausdorff，F.)空間。定義在X上的波萊爾代數B(X)上的計數測度是在緊集上為有限的非負整值測度，人們用N(X)表示它們的全體，B(N)表示N(X)上(關於淡拓撲)的波萊爾代數。於是，X上的一個隨機點過程就是從基本機率空間(Ω，F，P)到(N(X)，B(N))中的一個可測映象ξ。注意對任意固定的ω∈Ω，ξ(ω)∈N(X)是一計數測度。由於N(X)⊂M(X)，故隨機點過程是特殊的隨機測度。又若ξ是一隨機點過程，則對任意A∈B(N)，Pξ-1(A)=P{ω∈Ω，ξ(ω)∈A}誘導出可測空間(N(X)，B(N))上的一個機率測度Pξ-1，並稱其為ξ的分布。由於ξ和它的分布是一一對應的，故又可把一個隨機點過程定義為可測空間(N(X)，B(N))上的一個機率測度。注意上面定義的點過程是局部有限的，即過程在X的任意緊集(當X=R或R的一個子集時，緊集可用有界集代替)中的點數一定是有限的。
對於狀態空間是R+=(0，+∞)的隨機點過程(不失一般性，可設在時刻t=0沒有點發生)，人們可以把它的點按從小到大的順序排列為0=S0≤S1≤S2≤…，並用隨機變數序列{Sn，n≤0}或由Tn=Sn-Sn-1定義的點間間距序列{Tn，n≥1}表示該點過程。另一方面，若以N(t)記過程在區間（0，t）中發生的點數，則{N(t)，t≥0}是一計數過程；若給定了一計數過程{N(t)，t≥0}，則通過
Sn=inf{t：N(t)≥n}
可確定一點列{Sn，n≥0}(如前，令S0=0)。由於這種一一對應關係，人們在數學上往往把一個點過程和相應的計數過程看做是等同物(參見“隨機測度”和“計數過程”)。
隨機點過程
