隨機遊動

考慮X軸上的一個質點，假定他只能位於整數點，在時刻T=0時，他處於初始位置A(A是整數)，以後每隔單位時間，它總受到一個外力的隨機作用使位置發生變化，分別以機率P及機率Q=1-P向正的或負的方向移動一個單位，我們所關心的是在時刻T=N時的位置，用這種方式描述的質點運動稱為隨機遊動。

基本介紹

• 中文名：隨機遊動
• 外文名：random walk
• 適用範圍：數理科學

定義

隨機遊動亦稱隨機徘徊。一種最基本的整值隨機過程。假定一質點在數軸的整點上做如下運動：每次質點以機率 p 向右 1 單位；以機率向左 1 單位，且各次運動相互獨立。以表示時刻 n 質點的位置，則過程稱為隨機遊動，由假設表示質點的第 k 次位移，由假設 {} 獨立分布：

而對，有

於是它是平穩獨立增量過程，從而是離散時間時齊馬爾可夫鏈，其一步轉移機率為

若質點可以在整個數軸的整數點上遊動，則稱這種隨機遊動為無限制隨機遊動。若在某點D設有一個吸收壁，質點到達這點即被吸收而不再遊動，因而整個遊動也就結束了，這種隨機遊動稱為在D點有吸收壁的隨機遊動，若P=Q=1/2，隨機遊動稱為對稱的。

隨機環境中的隨機遊動

[random walk in random environments]

設(V，E)是無窮的有向圖，具有可數的頂點集 V 和邊集。對任意，定義它的鄰域（neighborhood)，表示支撐為的 V 上的機率測度全體。中的元素稱為在 v 點的轉移律（transition law)，是定義在 V 上的可測函式滿足如下條件：

在上賦予機率測度的弱拓撲使其為波蘭空間（Polish space），進而誘導出上的波蘭結構，以F 表示Ω上的博雷爾σ代數。給定（Ω，F）上的一個機率測度P ，一個隨機環境（random environment)就是取值在Ω中的一個隨機變數ω，其分布為 P。

對任意，定義隨機環境ω中對隨機遊動（random walk in random environment ω）為取值在 V 中的時齊馬爾可夫鏈，其轉移機率為

以表示滿足初始條件在上誘導的機率，稱為隨機遊動的淬火機率（quenched law）。在上定義為

在不引起混淆的情況下，也以記在上的邊際分布，稱為隨機遊動的退火機率（annealed law）。