狀態變數模型

狀態變數模型以數學的形式來表示一個系統的動態特性，包含狀態方程和輸出方程兩部分。狀態變數模型對於控制論的套用、複雜系統的處理都有很重要的意義，和工程系統相同，也套用於社會系統、經濟系統、生態學模型等系統的模型方面。狀態變數模型具有非唯一性。

基本介紹

• 中文名：狀態變數模型
• 外文名：State Variable Model
• 所屬範疇：內模型範疇
• 包含：狀態方程、輸出方程
• 意義：控制論的套用、複雜系統的處理
• 特性：具有非唯一性

簡介

狀態變數模型是一種較完善的系統描述方法，可以描述系統的內部信息。

狀態變數模型用數學模型的形式來表示一個系統的動態特性，包含狀態方程和輸出方程兩部分，前者表示狀態變數與輸入量之間的關係，後者表示輸出量與狀態變數以及輸入量之間的關係。狀態變數模型常表示為如下形式：

狀態變數模型把實體系統作為對象，在分析系統的動態特性時，控制論的套用起著極其重要的作用。同時從處理複雜系統來看，它也是重要的模型。

基礎知識

狀態

所謂狀態，是指系統的運動狀態，可以是物理的或非物理的，如位置、速度、加速度、電壓、電流等。

狀態變數

狀態變數是完全描述系統運動狀態的最小個數的一組變數。通常用 ， ，......， 加以表示。

“完全描述”指根據 時的初始狀態和 時的輸入量可以完全確定 任何瞬間的時域行為；“最小個數”意味著這組變數之間是相互獨立的。

狀態向量

如果把n個狀態變數 ， ，......， 看成是向量 的分量，則由這n個狀態變數所構成的向量 稱為狀態向量，記為：

狀態空間

以狀態變數 ， ，......， 為坐標軸構成的n維空間，稱為狀態空間。在某一特定時刻t，狀態向量 是狀態空間中的一個點。

狀態方程

在狀態空間描述中，狀態方程表征的是系統的輸入變數和狀態變數之間的因果關係，反映了系統輸入引起的內部狀態的變化，寫成矩陣形式如下：

其中

為n維狀態向量； 為m維輸入向量；

為 維系統矩陣，表征系統內部狀態變數之間的關係；

為 維輸入矩陣，表征輸入與狀態變數之間的關係。

輸出方程

在狀態空間描述中，輸出方程表征的是系統的輸入變數和狀態變數同系統的輸出變數之間的因果關係，它反映了系統輸入與內部狀態引起的系統輸出的變化，寫成矩陣形式如下：

其中，x和u同狀態方程中的含義；

為w維輸出向量；

為 維輸出矩陣，表征系統輸出與狀態變數之間的關係；

為 為前饋矩陣。

求解步驟

系統的狀態變數模型的設立，包括兩個基本步驟：

1）確定並求解狀態變數

2）根據這些狀態變數求輸出

這在數量上可用兩組方程來表示：一是狀態方程，它表示狀態變數與輸入量的關係；二是輸出方程，它表示輸出量與狀態量和輸入量的關係。

性質

根據給定的傳遞函式，可以寫出若干種本質上等價而外表不同的狀態變數模型。換言之，它不是唯一的。