基本介紹
- 中文名：圖解法
- 外文名：graphical method
- 所屬學科：數理科學
- 套用：求解線性規劃問題及其他數學運算
定義,線性規劃問題,解題步驟,例題解析,其他數學問題,適用範圍,例題解析,
定義
定義一
圖解法解線性規劃問題：只含有兩個決策變數的線性規劃問題，可以通過在平面上作圖的方法求解，這種求解線性規劃問題的方法稱為圖解法。該方法簡單直觀，有助於我們理解求解線性規劃問題的基本原理，用圖解法解題時，不必將數學模型標準化，易於施行，但是我們一般只用圖解法求解含兩個變數的線性規劃問題。
定義二
圖解法解其他數學運算：圖解法是指利用圖形來解決數學運算的方法。數學運算的本質是通過尋找數與數之間的關係來解決實際問題，整個過程比較抽象。如果我們能夠利用圖形這種工具，將複雜的數字之間的關係用圖形形象地表示出來，能夠更快更準地解決問題。
線性規劃問題
解題步驟
當我們用圖解法解線性規劃問題時，遵從如下步驟：
第一步，在平面上建立平面直角坐標系；
例題解析
例1 試用圖解法求解下面的線性規劃問題：
解 首先，按如下步驟繪出可行域（圖1中陰影部分）：
(1)繪出平面直角坐標系；
(2)繪出直線
，第一個約束不等式是“≤”，故可行域位於直線的左下方；
(3)同理，依次繪出直線
與直線
，判別可行域的方位；
(4)根據
，繪出可行域；
其次，目標函式
可以變形為
，即相應的直線族在
軸上截上截距的2倍是目標函式值。
圖1我們可以看到最優值應該在頂點C(4，1)取得，最優值是16。若求目標函式的最小值，則最小值是0，在原點O(0，0)取得。
通過觀察可行域，發現：可行域中任意兩點連線上的點仍在可行域內，即可行域是凸集，在描繪可行域時，我們亦可以利用原點判別可行域與已知直線的關係。
線性規劃問題的解的可能性
1．有唯一最優解的情況
例1即為此情形。
2．有多個最優解的情況
若將例1中的目標函式變更為
，則目標函式族與線段BC所在的直線平行，線段BC上的所有點均是最優解，最優值唯一。
3．無有限最優解的情況
若某個線性規劃問題的可行域是無界的，則有可能出現無有限最優解的情況，如將例1變更為：
其可行域是可以向上無限延伸的無界區域，最優解是
。
同時需注意到可行域無界並不意味著一定無有限最優解，若將本例中目標函式的最大值變更為求目標函式的最小值，此時有有限最優值0。
一般的，若對某實際問題進行求解時，出現了無有限最優解的情況，多表示數學模型中缺少必要的約束條件。
4．可行域是空集
若某個線性規劃問題的約束條件是
若解某個實際問題的數學模型時，出現可行域是空集的情形，多是某一約束條件出現了偏差。
圖解法的進一步討論
前面我們已經研究了圖解法的基本理論，在現實操作中，由於種種原因可能會引起偏差乃至錯誤。
如果約束不等式的右端項的數值較大，遠大於工藝係數，我們用圖解法解決相應問題時就可能由於觀測或操作的原因（畫圖或直線平移等）導致錯誤發生；所得到的最優解並非是真正的最優解，為此，我們可以根據定理（如果線性規劃問題（P）有有限最優解，則其目標函式的最優值一定可以在可行域的頂點上達到），採用頂點比較法尋求線性規劃問題的最優解，所謂頂點比較法是先求出可行域的所有頂點的坐標，而後分別計算目標函式在頂點的函式值，通過比較大小而得出最優值的方法。
除頂點比較法外，還可以用斜率比較法減少上述錯誤的發生，所謂斜率比較法是指先求出目標函式的斜率（稱為目標斜率），而後，將難以判別是否是最優解的頂點的邊界連線所在直線的斜率求出，將其與目標函式進行比較，最終得出最優解的方法。
此外，還可以利用目標函式參與法求簡單線性規劃的最優整數解。
其他數學問題
適用範圍
一般說來，圖解法適用於絕大部分題型，尤其是在行程問題、年齡問題、容斥問題等強調分析過程的題型中運用得很廣。圖解法簡單直觀，能夠清楚表現出問題的過程變化，但是容易出錯，在畫圖形的時候一定要保證圖形和數字保持一一對應的關係。
例題解析
某人上午8點要去上班，可是發現家裡的鬧鐘停在了6點10分，他上足發條但忘了對表就急急忙忙地上班去了，到公司一看還提前了10分鐘。中午12點下班後，回到家一看，鬧鐘才11點整，假定此人上班、下班在路上用的時間相同，那么他家的鬧鐘停了多少分鐘？
A.100 B.90 C.80 D.70
解析：這個忘了上發條的時鐘問題實際對應的是一個時間軸，我們選擇此模型分析題乾情境。
圖2如圖，這個人8點上班，12點下班，把相應的信息對應在時間軸上。到公司時提前了10分鐘說明實際抵達時間為7點50分。上下班時間相同，設為x分鐘。把這人出發與回到家的時間也分別寫在對應的時間軸上。
鬧鐘從6點10分走到11點，共走了4小時50分，也就相當於2x+10分鐘+4小時，即4小時50分=2x+10分鐘+4小時，可知x=20分鐘。
從而可知這個人從家出發的時間為7點30分，而此時鬧鐘停在了6點10分，所以鬧鐘停了60+20=80分鐘。
