在數學規劃中,對於決策方案的各項限制，常以不等式或方程式的形式出現。在經濟問題中，對目標函式常常要在一定約束條件下求最大值(或最小值)，它們包含著用來代表決策方案的變數，藉以對決策方案施加限制範圍。
基本介紹
定義,分類,相關概念,最佳化設計數學模型,設計變數,目標函式,
定義
在最佳化設計中，目標函式取決於設計變數，而設計變數的取值範圍都有各種限制條件，如強度、剛度等。每個限制條件都可寫成包含設計變數的函式，稱為約束條件或設計約束。因為它是設計變數的函式，也稱為約束函式。
分類
等式約束是對設計變數的嚴格約束，起著降低設計自由度的作用，其形式為：
在機械最佳化設計中，大部分約束為不等式約束，其形式為：
幾何約束：根據某種設計要求，設計變數必須滿足的某些幾何條件以及只對設計變數的取值範圍加以限制的那些約束，如桿的長度、桿的橫截面積等。
性能約束：指滿足特定工作性能而建立的約束條件，如工作應力小於許用應力等。
對於等式約束而言，設計變數所代表的設計點必須在
所表示的面(或線)上，稱為起作用約束或緊約束。對於不等式約束，極限情況
所表示的幾何面或線將設計空間分成兩部分：一部分中所有設計均滿足所有的約束條件，這部分空間稱為設計點的可行域；另一部分所有點均不滿足約束條件，稱為設計點的不可行域。在可行域內的設計點，稱為可行設計點，可行域也是可行設計點的集合。位於可行域邊界上的設計點亦是可行點，過該點的約束為起作用約束，否則為不起作用約束；非可行域是不滿足約束條件設計點的集合。
如圖1所示的某二維最佳化設計問題，包含四個不等式約束和一個等式約束。圖中分別表示了可行域、不可行域、可行點、不可行點、起作用約束和不起作用約束。
圖1利用可行域的概念，可以將最佳化問題的數學模型（見下文）進行簡化。設同時滿足
和
的設計點的集合為D(設計點的可行域)，最佳化問題的數學模型可簡化為：
相關概念
最佳化設計數學模型
建立最佳化數學模型，通常是根據設計要求，套用相關基礎和專業知識，建立若干個相應的數學表達式。對於機械結構最佳化設計，主要是根據力學，機械設計等專業基礎知識及機械製造等專業知識來建立數學模型。最佳化問題的一般數學模型如下所示：
設計變數
把
定義為門維歐式空間
的一個列向量，該空間包含了設計中所有可能的設計方案，且每一個設計方案對應設計空間上的一個設計向量或者一個設計點
。設計變數的個數行稱為設計問題的維數，有幾個設計變數就稱為幾維最佳化設計問題。設計問題的維數表征了設計自由度。自由度越大，越有利於尋找最理想的設計方案，但設計的難度也越大。
n=2就是一個二維設計問題，可以用直角坐標系表示，也稱平面設計問題；n=3是一個三維設計問題，可用三個坐標軸所構成的直角坐標系表示，也稱三維設計空間；n>3時為抽象的超空間，無法用圖形表示。
在設計域中，按變數是否連續分為連續變數(如構件尺寸、轉速等)和離散變數(如齒輪的齒數等)。按變數的性質分為幾何參數、物理參數和力學參數等，如桿的截面積、長度等即為幾何參數，桿的質量、彈性模量和泊松比為物理參數，桿的應力、應變等為力學參數等。
根據設計變數維數的多少，最佳化設計問題可以分為小型最佳化設計問題(n<10)、中型最佳化設計問題(n=10～50)和大型最佳化設計問題(n>50)等。
目標函式
為了對設計進行評價，必須構造包含設計變數的評價函式，即最佳化的目標，稱為目標函式，一般以
表示。
在最佳化過程中，通過設計變數的改變不斷改善 的值，最後求得令 值最好或最滿意的x值。在目標函式的構造中，應注意目標函式必須包含全部設計變數。
在機械設計中，一般用作目標函式的有體積最小、質量最小、效率最大、柔度最小、振幅或噪聲最小、成本最低，等等。
機械最佳化設計一般分為單目標最佳化問題和多目標最佳化問題。只有一個目標函式的最佳化問題稱為單目標最佳化問題；在同一個設計中要提出多個目標區數時，稱為多目標最佳化問題。目標函式愈多，設計的綜合效果愈好，但求解的難度也愈大。
目標函式一般表現為顯式和隱式兩種。顯式目標函式是根據設計理論或公式、科學定理的關係推導的代數方程，或是根據實驗數據採用曲線擬合方法所得的曲線方程；隱式目標函式是利用有限元分析方法、人工神經網路方法或仿真模擬方法的程式計算的結果，沒有明顯的函式式，但可給出函式值。
